Hội tụ vô điều kiện và không gian hạch của Grothendieck

GrothendieckSchwarz(Ảnh: Alexander Grothendieck (bên trái) cùng Laurent Schwartz tại viện IHES)

Ông Alexander Grothendieck, một trong những nhà toán học lớn nhất của thế giới, sinh năm 1928, đã qua đời ngày 13/11/2014 tại vùng núi Ariège miền nam nước Pháp. Để tưởng nhớ, tôi sẽ viết một số bài về toán học và cuộc đời của ông.

Giai đoạn đầu tiên trong cuộc đời làm toán của ông được đánh dấu bằng việc vào năm 1948, sau những năm học đại học ở Montpellier, ông được cấp học bổng lên Paris học ở Ecole Normale Supérieure (ENS – một lò sản sinh ra các nhà toán học lớn của Pháp) với Henri Cartan, rồi năm sau đó được được Cartan giới thiệu  đi Nancy làm nghiên cứu sinh về giải tích hàm với Laurent Schwartz (giải Fields năm 1950) và Jean Dieudonné, là hai nhà toán học trẻ xuất sắc của Pháp thời đó, thay vì ở lại Paris với các “lão già”. Khi Schwartz và Dieudonné nói chuyện với chàng trai trẻ Grothendieck, họ rất thú vị bởi sự “điếc không sợ súng” của anh ta, và trao cho anh ta một danh sách 14 vấn đề trong giải tích hàm mà họ đang bị vướng mắc, bảo anh ta là thích chọn vấn đề nào để thử làm thì chọn. Họ không thể ngờ rằng, chỉ mấy tuần sau, anh chàng “điếc không sợ súng” Grothendieck đã quay lại với lời giải cho một nửa trong số các vấn đề mà họ đưa ra! Luận án tiến sĩ quốc gia của Grothendieck hoàn thành vào năm 1953,  và được đánh giá là tương đương với ít nhất 6 luận án tiến sĩ quốc gia khác. Nó được in thành một quyển sách trong loạt sách “Memoirs of the AMS” của Hội toán học Mỹ vào năm 1955, và trở thành một cột mốc quan trọng trong lịch sử phát triển của giải tích hàm hiện đại.

Một trong những đóng góp quan trọng nhất của Grothendieck trong lĩnh vực giải tích hàm là việc đưa ra và nghiên cứu khái niệm không gian hạch (nuclear space) trong luận án của ông. Rất nhiều các không gian hàm mà được các nhà toán học thường xuyên sử dụng, ví dụ như là không gian các hàm trơn, hay không gian các hàm chỉnh hình, cùng với các topo tự nhiên đi kèm, là các không gian hạch. Các không gian hạch này được đặc trưng bởi một tính chất rất quan trọng, gọi là tính chất hội tụ vô điều kiện (unconditional convergence), hay còn gọi là hội tụ giao hoán, mà các không gian Banach vô hạn chiều (là một lớp không gian hàm phổ biến nhất trong toán học) không có được.

Tính chất hội tụ vô điều kiện như sau: Giả sử x_1,x_2, \hdots là một dãy vô hạn các số, hay mở rộng hơn là các phần tử trong một không gian vector nào đó. Ta sẽ nói rằng dẫy đó cho một chuỗi số hội tụ vô điều kiện nếu như là mọi hoán vị của dãy số đó đều tạo ra một chuỗi số hội tụ: Nếu \rho: N \to N là một song ánh bất kỳ của tập các só tự nhiên, thì chuỗi \sum_{i=1}^\infty x_{\rho(i)} hội tụ. Một cách phát biểu tương đương là: Chuỗi \sum_i x_i là hội tụ vô điều kiện, nếu với mọi chọn lựa dấu \epsilon_i = \pm 1 bất kỳ thì chuỗi \sum_i \epsilon_i x_i hội tụ. (Bài tập cho các bạn sinh viên: hãy chứng minh rằng hai định nghĩa trên là tương đương trong không gian vector topo bất kỳ).

Trong trường hợp các số thực hay là các số phức, thì có định lý cổ điển của Cauchy nói rằng, một chuỗi số là hội tụ vô điều kiện khi và chỉ khi nó hội tụ tuyệt đối, tức là chuỗi \sum_i |x_i| hội tụ. Định lý này của Cauchy mở rộng một cách hiển nhiên lên trường hợp không gian vector hữu hạn chiều. Nhưng đối với các không gian vô hạn chiều thì nó không còn đúng nữa! Trong không gian Banach (tức là không gian vector định chuẩn đầy đủ — complete normed vector space) vô hạn chiều thì dễ thấy mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ vô điều kiện, nhưng định lý Dvoretzky-Rogers (năm 1950) nói rằng điều ngược lại không đúng: trong mọi không gian Banach vô hạn chiều đều tồn tại mội chuỗi hội tụ vô điều kiện nhưng không hội tụ tuyệt đối. Để làm ví dụ cho định lý Dvoretzky-Rogers, ta có thể lấy trường hợp đơn giản khi không gian là không gian Hilbert với một cơ sở chuẩn (orthonormal basis) (e_1, e_2, \hdots). Khi đó dễ thấy rằng chuỗi \sum_i \frac{e_i}{i} hội tụ vô điều kiện nhưng không hội tụ tuyệt đối.

Các không gian hạch của Grothendieck là các không gian vector lồi địa phương (locally convex, tức là có topo sinh bởi một họ các seminorms) tương tự như là các không gian Banach hay Hilbert, nhưng chúng tốt hơn các không gian Banach vô hạn chiều ở chỗ chúng có tính chất hội tụ vô điều kiện hệt như là các không gian hữu hạn chiều: một chuỗi phần tử hội tụ vô điều kiện khi và chỉ khi nó hội tụ tuyệt đối (đối với mọi seminorm của không gian).

Có thể kể đến một bước phát triển quan trọng  tiếp theo của giải tích hàm theo hướng này, là khái niệm “tame Fréchet space” được John Nash (nhà toán học nổi tiếng, nhưng lại được giải Nobel kinh tế) đưa ra vào thập kỷ 1950 để giải quyết vấn đề nhúng đẳng cự (isometric embedding problem) rồi được Richard Hamilton (người mà sau này nổi tiếng vì đóng góp vào việc giải quyết giả thuyết Poincaré do có công đưa ra khái niệm Ricci flow cho các metric) hình thức hóa thành “định lý hàm ngược Nash-Moser” vào năm 1982 cho các không gian đó. Định lý hàm ngược này, cùng các biến dạng và mở rộng của nó, hiện vẫn đang là một công cụ hiện đại quan trọng được các nhà toán học dùng để tấn công các vấn đề khó khăn trong giải tích và hình học.

Print Friendly

Leave a Reply

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

  

  

  

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.