Giải tích toán học ở bậc phổ thông?

Trong chương trình phổ thông năm cuối của nhiều nước tiên tiến trên thế giới, và cả ở Việt Nam, có đưa vào các khái niệm giải tích toán học, như là giới hạn, đạo hàm và tích phân. Tuy nhiên, có không ít người phản đối chuyện này, đòi bỏ nó ra khỏi chương trình toán phổ thông. Tương tự như đối với số phức, các lý do chính mà những người “đòi bỏ” đưa ra là:

i) Các khái niệm giải tích toán học quá nặng đối với hầu hết học sinh phổ thông, và

ii) Trong cuộc sống chẳng mấy khi dùng đến các khái niệm đó

Vậy các khái niệm toán giải tích có “nặng” thật không, và có “vô dụng” thật không?

Vấn đề nằm ở cách tiếp cận chúng. Tất nhiên là nếu học sinh phải học giải tích một cách hình thức, khô khan, thuộc lòng công thức, với các bài tập và các khái niệm như là “từ trên trời rơi xuống” chẳng ứng vào đâu, thì tất nhiên là chúng quá nặng, và vô dụng, vì có được học là có thể dùng chúng như thế nào đâu để mà dùng. Nhưng điều này không chỉ đúng với giải tích, mà đúng với hầu hết các kiến thức khác ở bậc phổ thông: học theo kiểu hình thức, giáo điều, như con vẹt, thì đều sẽ thành vô dụng cả.

Ngược lại, nếu chúng ta tiếp cận các khái niệm giải tích một cách tự nhiên, xuất phát từ các nhu cầu của con người để khám phá thiên nhiên và giải quyết các vấn đề trong cuộc sống, thì giải tích hay các kiến thức khác sẽ trở nên hữu dụng. Và chúng cũng không phải là quá khó, hoàn toàn có thể giải thích cho học sinh hiểu được.

Tất nhiên, cùng một vấn đề, có nhiều mức độ hiểu khác nhau, không thể đòi hỏi học sinh phổ thông cũng phải hiểu các khái niệm giải tích ở mức độ sâu sắc như là các sinh viên hay các tiến sĩ. Điều này cũng đúng với mọi kiến thức khác. Ví dụ như di truyền học, cũng có nhiều mức độ hiểu khác nhau, học sinh thì hiểu ở mức đơn giản hơn là các nhà sinh vật học.

Vậy một học sinh phổ thông có thể hiểu những gì từ các khái niệm như giới hạn, đạo hàm, tích phân, và có thể tiếp cận các khái niệm đó như thế nào cho dễ hiểu? Trước hết, có lẽ cần xác định lại rằng các khái niệm này *không khó hiểu* và cũng *không có gì quá mới mẻ*. Chúng đã xuất hiện từ cách đây ít ra 4 thế kỷ rồi, còn cổ điển hơn nhiều các khái niệm khác được dạy ở phổ thông. Nếu có khó hiểu thì không phải tại bản thân chúng khó hiểu, mà là tại kiểu tiếp cận hình thức khó hiểu.

Ở đây tôi xin đưa ra một số gợi ý:

1) Mỗi khái niệm toán học mới đưa ra cần kèm theo ý nghĩa của chúng, công dụng của chúng như là một phương pháp hay thuật toán tổng quát để mô tả hay giải quyết một loạt các vấn đề. Định nghĩa hình thức không quan trọng bằng ý tưởng, học sinh cần hiểu được ý tưởng thay vì học thuộc lòng định nghĩa.

2) Các ví dụ minh họa cần gắn liền với thực tế hay với các vấn đề nảy sinh một cách tự nhiên ở đâu đó, chứ không “từ trên trời rơi xuống” thì sẽ chẳng cho thấy công dụng thưc tế ra sao.

3) Nói riêng về khái niệm giới hạn. Nó có thể gọi là “phép tính cơ bản thứ năm của toán học” (sau 4 phép tính cộng trừ nhân chia; toàn bộ các phép tính khác trong giải tích, như vi tích phân, là thông qua phép lấy giới hạn này). Với vị trí “phép tính thứ 5” đó thì kể cả không dùng làm gì khác cũng đã đáng được biết, như là một cột mốc trong văn hóa chung.  Còn về công dụng thực tế, nó xuất phát tự sự lý tưởng hóa các thuật toán tính toán gần đúng, cho phép tính xấp xỉ các đại lượng mà con người quan tâm. Một người dù ghét toán đến mấy, thì trong cuộc sống vẫn có những lúc phải đối mặt với việc tính toán ước lượng các thứ (tiền nong, nhà cửa, v.v.) . Ngay muốn nấu ăn cho ngon cũng cần biết ước lượng tốt các thứ liên quan, không thì sẽ thành thừa thiếu lung tung. Khả năng tính toán ước lượng xấp xỉ chính là một khả năng giải tích toán học trong cuộc sống: biết những đại lượng nào to cỡ nào, những đại lượng nào nhỏ có thể bỏ qua, nhưng đại lượng nào cần cho thêm vào để điều chỉnh cho kết quả chính xác hơn, v.v. Nếu như trước khi học về khái niệm giới hạn, học sinh được làm quan với khái niệm tính toán ước lượng xấp xỉ, rồi hiểu giới hạn là khi mà sai số của việc tính xấp xỉ tiến đến 0, thì có lẽ nó sẽ trở nên tự nhiên và dễ diểu hơn.

4) Đạo hàm là gì? Đạo hàm chẳng qua là tốc độ thay đổi. Từ “tốc độ” là từ quá quen thuộc đối với mọi người, nên bản thân khái niệm đạo hàm cũng chẳng có gì khó hiểu:  tốc độ xe ô tô là đạo hàm theo thời gian của quãng đường đi được, tốc độ tăng trưởng dân số hay tăng trưởng kinh tế là đạo hàm của  dân số hay sản lượng kinh tế theo thời gian, v.v. (nói chính xác hơn, thì là cần lấy logarithm nếu đo tăng trưởng theo tỷ lệ % chứ không theo giá trị tuyệt đối). Chỉ có công thức tính toán nó có thể hơi lằng nhằng trong một số trường hợp. Thế nhưng không nên lao vào các công thức phức tạp quá ở phổ thông, mà nên chú trọng việc hiểu ý nghĩa hơn. Từ hôi học cấp 2, tôi và một số bạn bè đã biết dùng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Đó cũng là một công dụng (gọi là phương pháp biến phân của Fermat) khiến đạo hàm trở nên có ích. Tại sao hình vuông lại là hình có diện tích lớn nhất trong các hình chữ nhật có cùng chu vi chẳng hạn, điều này có thể giải thích qua đạo hàm.

5) Thế tích phân là gì? Chẳng qua là phép tính ngược của đạo hàm, cho phép tính các giá trị nào đó (ví dụ như quĩ đạo của vệ tinh, thể tích của một hình khối, v.v.) qua việc xác định tốc độ thay đổi của nó theo biến nào đó. Nếu như bắt học sinh phải học thuộc đến cả trăm công thức tính tích phân khác nhau, thì hẳn là tích phân trở thành thứ rắm rối và vô bổ. Nhưng nếu chỉ cần học ít công thức thôi, và có nhiều ví dụ cụ thể cho thấy ý nghĩa của việc tính tích phân, thì nó sẽ trở nên không quá khó, và cũng không vô bổ tẹo nào. Các ví dụ có ý nghĩa thực tế mà đòi hỏi tích phân thì có đầy, chỉ cần các nhà giáo dục  chịu khó ngồi tổng hợp lại một số ví dụ hay, thay vì ngồi bịa các hàm rắm rối bắt học sinh tính tích phân.

 

Print Friendly

5 comments to Giải tích toán học ở bậc phổ thông?

  • Tịt Mũi MonsterID Icon Tịt Mũi

    Dạy như thế thì quá tốt. Có điều cách dạy đấy ở Việt Nam vấp phải trở lại lớn: đấy là trình độ giáo viên. Mà thay đổi điều này thì phải mất thời gian.

  • Cường MonsterID Icon Cường

    Để hiểu về khái niệm đạo hàm rất khó…đạo hàm chính là giới hạn.Mà để nói về giới hạn bằng ngôn ngữ epsilon thì vô cùng khó!

  • Tịt Mũi MonsterID Icon Tịt Mũi

    Em thấy nói là “tích phân là phép tính ngược của đạo hàm” thì đúng, nhưng có lẽ cần nói thêm là tích phân cho phép tính diện tích tạo ra bởi một đường cong. Sau đó ta có thể nói thêm về ví dụ nổi tiếng của Archimede và cách tính diện tích, thể tích một số hình thường gặp…

  • Lữ Quốc Hưng MonsterID Icon Lữ Quốc Hưng

    Em hiểu thế này không biết đúng không: Khái niệm tích phân có trước cả khái niệm đạo hàm, rất thực tiễn bắt nguồn từ việc tính diện tích của Archimede. Thực hiện bắng cách chia nhỏ hình tròn thành các đa giác nội tiếp và ngoại tiếp, chia nhỏ “mãi”, thì tính được diện tích gần đúng của hình tròn, và như vậy cũng là một cách sử dụng giới hạn! Vậy đúng là ý tưởng giới hạn vô cùng quan trọng, hữu dụng, có từ lâu đời,… Mặt khác, sự phát triển “rực rỡ” của tích phân từ khi có được mối liên hệ với đạo hàm nhờ qua Newton-Leibnizt. Nếu giảm tải thật nhiều các kỹ thuật tính toán mà chú trọng nhiều hơn về ý nghĩa và ứng dụng e nghĩ học sinh sẽ hoàn toàn hiểu được và thích thú (dĩ nhiên có thể không phải 100% :) nhưng mà “expectation” sẽ rất cao ). Một điều nữa là khái niệm hàm số e cho rằng nên đầu tư nhiều hơn về ý nghĩa, ví dụ thực tiễn, từ nhu cầu thực tế mà đặt ra các hàm, hoặc có sự liên kết các vấn đề đã quen thuộc mà lại là hàm như các phép toán cộng, nhân, phép toán tập hợp, hàm số đối (cho vào số thực x, trả ra giá trị -x), hàm trị tuyệt đối, các hàm nhận giá trị rời rạc (hàm đơn) thực tế và ứng dụng… Mọi sự gia giảm dĩ nhiên phải bàn kỹ hơn, song e nhìn nhận chung chương trình hiện hành thiên về kỹ thuật nhiều hơn ý nghĩa!

  • An Nam MonsterID Icon An Nam

    Lênin đã tổng kết: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn – đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lí, của sự nhận thức thực tại khách quan”

    Cách dạy toán ở phổ thông và cả đại học(?) đều chỉ chú trọng tới tư duy trừu tượng mà vứt bỏ “trực quan sinh động” lẫn “thực tiễn” …

    Có thời giải tích toán học phát triển như vũ bão mà đâu có cần đến epsilon :)

Leave a Reply

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

  

  

  

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.