Toán học quanh ta: một đặc trưng của hình lồi

(Đăng lại từ https://www.facebook.com/sputnikedu/posts/696671377021247)

Toán hiện đại không nhất thiết phải quá rắm rối bí hiểm — về cơ bản, thực ra mọi ý tưởng lớn, quan trọng đều trong sáng, chỉ có khi người ta trình bày thì làm cho nó tù mù đi thôi.

Thay vì quá mất thời giờ với những bài toán “sơ cấp” rất phức tạp, nếu các bạn học sinh tìm hiểu các vấn đề hiện đại, thì có thể sẽ có được cái nhìn tốt hơn về khoa học.

Một trong những ý tưởng trong sáng của toán học là tính lồi. Một hình lồi là hình “không lõm ở chỗ nào cả”. Định nghĩa chính xác hơn về mặt toán học: hình lồi là hình mà nếu x,y là hai điểm bất kỳ của hình đó thì toàn bộ đoạn thẳng nối từ x đến y là thuộc hình đó (nếu có điểm trên đoạn thẳng mà không thuộc thì đó chính là chỗ lõm)

Các hình lồi tất nhiên là xuất hiện rất nhiều trong tự nhiên: khi người ta cưa gỗ, xẻ đá, v.v. thì nói chung là ra hình lồi, chẳng ai cưa được ra hình lõm cả (muốn lõm phải đục đẽo). Trong ứng dụng của toán học, các hình lồi đặc biệt hay xuất hiện trong các vấn đề tối ưu hóa (với một loạt các vấn đề, tìm tối ưu thì phải tìm ở đỉnh hình lồi, chẳng ai tìm ở chỗ lõm :D). GS Hoàng Tụy của VN nổi tiếng chính nhờ các công trình trong tối ứu lồi.

Trong hình học hiện đại, khái niệm hình lồi được phát triển lên theo nhiều hướng khác nhau, cho các không gian “phi Euclid”, thậm chí là các không gian có kỳ dị. Nhưng ở đây, tôi muốn giới thiệu một tính chất rất là “trong sáng” của hình lồi (trong không gian thông thường), mà các học sinh phổ thông có thể hiểu và thậm chí có thể tự chứng minh được. Tính chất này gọi là qui tắc

Lồi địa phương –> lồi toàn cục

Một hình lồi địa phương là hình thỏa mãn tính chất lồi ở mức địa phương. Thay vì hai điểm x,y, tùy ý có thể rất xa nhau, ta yêu cầu tính chất đó đúng cho các điểm gần nhau thôi. Có thể phát biểu chặt chẽ như sau: với mọi điểm z bất kỳ của hình thì tồn tại một bán kính r sao cho nếu x và y đều cách z không quá r và nằm trong hình thì đoạn thẳng nối từ x đến y cũng nằm trong hình.

Định lý: Một hình đóng và lồi địa phương thì là hình lồi (toàn cục)

Thế nào là đóng? Nói nôm na là cả biên của hình cũng thuộc vào hình.

Nếu không có điều kiện đóng đó, thì có ngay phản ví dụ: lấy một đa giác lõm bất kỳ, vứt đi các đỉnh lõm của nó thì nó trở thành hình lồi địa phương nhưng tất nhiên vẫn không lồi toàn cục (và nó cũng không còn đóng nữa, vi thiếu các điểm đỉnh)

Những qui tắc có thể phát biểu một cách dễ nhớ như “lồi địa phương –> lồi toàn cục” là những qui tắc giúp đinh hướng các nhà toán học đương thời nghiên cứu các thứ (tính lồi của các không gian cũng là một chủ đề nghiên cứu hiện đại)

Bạn hãy thử chứng minh định lý trên xem ?

Bản thân ý tưởng “tính chất địa phương -> tính chất toàn cục” là ý tưởng triết lý rất quan trọng trong toán học, và khoa học nói chung: các qui luật “vĩ mô” sinh ra từ các qui luật “vi mô”. Ví dụ, qui luật về tương tác giữa các con châu chấu với nhau, giữa những người đi xe trên đường, v.v., tạo nên các qui luật về dáng điệu chuyển động của cả đàn châu chấu, của cả hệ thống giao thông, v.v.

Print Friendly

Leave a Reply

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

  

  

  

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.