Từ chia hết đến dạng chuẩn (giới thiệu toán hiện đại)

(dành cho học sinh cấp 3 trở lên)

Các bạn học sinh có được học khái niệm chia hết trong số học. Ví dụ như 15 chia hết cho 5, còn 18 không chia hết cho 5.

Khái niệm chia hết không chỉ có trong số học, mà nó được mở rộng ra cho các lĩnh vực khác, từ đại số đến giải tích, trở thành công cụ để nghiên cứu nhiều thứ. trong đó có cả sự ổn định của hệ mặt trời :)

Một ví dụ về chia hết như sau:

Khẳng định: Nếu ta có một hàm số f(x) thỏa mãn f(0) = 0, thì f chia hết cho x.

Điều đó có nghĩa là f(x) = x g(x) trong đó g(x) là một hàm số khác (cung nằm trong một lớp nào đó với f(x)). Điều ngược lại của khẳng định trên thì hiển nhiên, bởi vì nếu f(x) = x g(x) thì f(0) = 0. g(0) = 0 (nếu như g có giá trị tại 0).

Khẳng định trên là đúng với các đa thức: thử kiểm tra mà xem, nếu một đa thức bằng 0 tại 0, thì nó có thể viết dưới dạng xg(x) trong đó g(x) là một đa thức.

Đối với các hàm số tổng quát hơn là đa thức, thì khẳng định trên có thể phát biểu một cách chính xác hơn như sau:

Nếu f0) = 0 và f khả vi liên tục p lần, thì f(x) = x g(x) trong đó g khả vi liên tục p-1 lần. (Nếu f khả vi vô hạn lần thì g cũng khả vi vô hạn lần).

Chứng minh: f(x) = \int_0^x f((t) dt = \int_0^1 f'(xs) x ds = x g(x) trong đó g(x) =\int_0^1 f'(xs) ds

Có thể mở rộng khẳng định trên lên trường hợp nhiều chiều như sau:

Khẳng định: Nếu ta có một hàm số n biến f(x) = f(x_1, \hdots, x_n) thỏa mãn f(0) = 0, thì f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = \sum_i x_i g_i(x)

(Nói theo ngôn ngữ hiện đại, thì chia hết có nghĩa là nằm trong ideal sinh bởi những cái chia, và ở đây f nằm trong ideal sinh bởi các hàm x1, …, xn)

Chứng minh cũng hệt như trên, và nếu f khả vi liên tục p lần thì các hàm gi khả vi liên tục p-1 lần.

Sử dụng mệnh đề chia hết trên, có thể chứng minh dễ dàng một định lý quan trọng sau đây, gọi là Bổ đề Morse, là cơ sở của lý thuyết Morse trong tô pô:

Nếu f là một hàm n biến sao cho đạo hàm của f tại một điểm O bằng 0, và đạo hàm bậc hai tại điểm đó không suy biến, thì tồn tại một hệ tọa độ (y1,…,y_n) gần O sao cho f có thể viết dưới dạng

f(y) = f(0) + \sum_i \pm y_i^2

Một dạng như trên được gọi là một dạng chuẩn, vì nó đơn giản, cho phép mô tả các thứ một cách dễ dàng.

Ví dụ, đối với n=1:

f(x) = f(0) + x g(x)

vì đạo hàm của f tại 0 bằng 0 nên g(0) = 0, do đó g(x) = x h(x), và f(x) = f(0) + x^2 h(x)

Do đạo hàm bậc 2 của f tại 0 không suy biến (tức là khác 0 trong trường hợp 1 biến) nên h(0) khác 0. Ta có thể viết

f (x) = f(0) \pm (x\sqrt{\pm h(x)})^2 tùy thuộc h(0) dương hay âm, và đặt y = x\sqrt{\pm h(x)}.

Hãy thử chứng minh bổ đề Morse tương tự như vậy cho trường hợp nhiều biến ?

 

Print Friendly

Leave a Reply

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

  

  

  

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.