Phép tính cơ bản thứ 5 của toán học! (Bổ túc văn hóa)

(Đã đưa lên trên trang FB của Sputnik Education)

 
Ai cũng biết là toán học có 4 phép tính cơ bản: cộng, trừ, nhân, chia. Toàn bộ đại số là dựa trên 4 phép tính đó. Đi vào chi tiết hơn, thì có thể nói là dựa trên các phép cộng, nhân, và phép tính ngược. (Trừ là phép ngược lại của cộng, chia là phép ngược lại của nhân). Từ các phép cộng, nhân, tính ngược, có thể xây dựng vô số các phép tính khác, ví dụ như lấy mũ, khai căn, láy nghiệm của một phương trình đại số.

Tuy nhiên, có một phép tính rất cơ bản khác trong toán học, mà không thể sinh ra từ các phép cộng, nhận, và tính ngược. Hỏi đó là phép tính gì ?

Câu trả lời: đó chính là phép lấy giới hạn!

Phép tính giới hạn chính là nền tảng của toán bộ cái gọi là “giải tích toán học”, và nó làm thay đổi toàn bộ bộ mặt của toán học từ khi giải tích toán học xuất hiện, từ cách đây quãng 400 năm.

Bạn hãy thử ngẫm nghĩ mà xem: đạo hàm được định nghĩa qua giới hạn, tích phân cũng được định nghĩa qua giới hạn, các hàm số thông thường nói chung cũng được định nghĩa một cách chính xác qua giới hạn. Ví dụ, công thức chính xác để tính hàm sin(x) là:

sin (x) = x – x^3/3! + x^5/5! + … – x^{4n+1}/(4n+1)! + …

có nghĩa là nó là giới hạn của các đa thức

x – x^3/3! + x^5/5! + … – x^{4n+1}/(4n+1)!

khi n tiến tới vô cùng.

Ví dụ, khi x = 1 ta có

sin (x) = 1 – 1/3! + 1/5! – 1/7! + … = 1 – 1/6 + 1/120 – 1/5040 = 0.8414…, chính xác đến 4 chữ số sau dấu phẩy.

Ví dụ trên cũng cho thấy một điều quan trọng, đó là trong thực tế, thì công dụng của phép lấy giới hạn trong toán học chính là để tính toán xấp xỉ gần đúng: khi ta chuyển một công thức toán học chính xác có chứa giới hạn thành một công thức để tính toán cụ thể trong thực tế (ví dụ đưa cho máy tính), thì ta chỉ tính đến một số hạng nào đó, là đủ để có một kết quả xấp xỉ gần đúng rất tốt rồi.

Không chỉ các hàm số, các phép đạo hàm và vi phân được định nghĩa qua giới hạn, mà hàng loạt các khái niệm toán học hiện đại khác cũng định nghĩa qua giới hạn: từ sigma-đại số, cơ sở của lý thuyết xác suất hiện đại, cho đến khái niệm liên tục trong giải tích, compact trong topo, nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, v.v. tất cả đều liên quan đến giới hạn.

Tất nhiên, khi chuyển từ mô hình toán học hiện đại qua máy tính để tính toán cụ thể, thì các giới hạn “biến đi mất” mà thay vào đó là các thứ hữu hạn. Nhưng về mặt lý tưởng toán học, các giới hạn cho chúng ta biết là chúng ta có thể tính các thứ chính xác đến mức nào. Và các công thức giới hạn cũng chính là cơ sở của các phương pháp tính.

Ví dụ, ta muốn tính căn bậc hai của 2, thaajjm chí tính nhẩm, không cần bàn tính. Ta có thể làm như sau: Lấy một số mà bình phương của nó “không quá xa” số 2, và gọi nó là x(1). Tính các số x(n) theo công thức truy hồi: x(n+1) = x(n)/2 + 1/x(n). Khi đó giới hạn của x(n) chính bằng căn hai của 2, và do đó ta tính đến một mức n nào đó thì sẽ được kêt quả gần đúng với mức chính xác mà ta muốn. Ví dụ, lấy x1 =1, khi đó x2 = 1/2 + 1 = 3/2, x3 = (3/2)/2 + 1/(3/2) = 3/4 + 2/3 = 17/12, x4= (17/12)/2 + 1/(17/12) = 17/24 + 12/17 = 577/408 = 1.414215…, trong khi căn bậc hai của 2 là 1.414213…, tức là ta đã tính được chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy, sau khi chỉ dùng có 4 số đầu tiên của dãy số mà giới hạn của nó là số cần tìm.

Phép lấy giới hạn cũng chính là phép tính tạo sự khác biệt giữa “đại số” và “giải tích”, bởi trong “đại số thuần túy” thì không có phép tính này. Các tính chất “thuần túy đại số” không còn đúng nữa, khi ta đưa phép tính giới hạn vào. Ví dụ, một trong các tính chất cơ bản nhất của các vành và các module trong đại số giao hoán gọi là “tính chất Noether” (có nhiều người ở đây nghe đến tính chất này chưa ?) nó đúng vì là không có đụng đến pháp lấy giới hạn, khi lấy giới hạn thì không còn đúng nữa!

Print Friendly

1 comment to Phép tính cơ bản thứ 5 của toán học! (Bổ túc văn hóa)

Leave a Reply

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

  

  

  

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.