Định lý điểm bất động Brouwer: một chứng minh ngắn

Tôi cũng chẳng nhớ ngày xưa học chứng minh định lý này thế nào nữa, nhưng vì hôm nay phải dạy học có sử dụng đến đ/l này (dùng nó để chứng minh định lý Perron-Frobenius), nên tìm hiểu một chứng minh ngắn, viết lại đây. Định lý phát biểu như sau:

Ký hiệu B^n = \{x \in {\mathbb R}^n, \|x\| \leq 1\} hình cầu đơn vị đóng n chiều. Khi đó mọi ánh xạ liên tục \phi: B^n \to B^n từ hìnhcầu này vào chính nó đều có ít nhất một điểm bất động, tức là điểm x sao cho \phi(x) = x.

Chứng minh:

1) Chuyển bài toán về trường hợp \phi là ánh xạ trơn. Dùng “smoothing operator” (convolution product với những hàm mà tiến tới hàm delta của Dirac), có thể xấp xỉ \phi bởi một ánh xạ trợn (khả vị vô hạn lần) từ hình cầu vào chính nó. Nếu \phi không có điểm bất động thì ánh xạ trơn xấp xỉ \phi cũng không có điểm bất động.

2) Giả sử \phi là ánh xạ trơn từ hình cầu vào chính nó không có điểm bất động. Khi đó xây dựng được một ánh xạ trơn \psi: B^n\to S^{n-1} = \partial B^n từ hình cầu vào mặt cầu biên của nó như sau: với mỗi điểm x \in B^n, thì \psi(x) là điểm cắt của nửa đường thẳng có gốc là \phi(x) và đi qua điểm x với mặt cầu. Dễ thấy là ánh xạ \psi khi giới hạn lên mặt cầu thì là ánh xạ đồng nhất.

3) Dùng công thức Stokes để chứng minh rằng không tồn tại ánh xạ trơn \psi: B^n\to S^{n-1} sao cho giới hạn của nó lên mặt cầu là ánh xạ đồng nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại \psi. Gọi \alpha là một dạng thể tích (có thể lấy dạng thể tích chuẩn sinh ra từ cấu trúc Euclid chẳng hạn) trên mặt cầu, và đặt \omega = \psi^* \alpha. Khi đó, do \psi là ánh xạ đồng nhất trên mặt cầu, ta có

\int_{S^{n-1}} \omega = \int_{S^{n-1}} \alpha > 0 (thể tích của mặt cầu, tất nhiên là số dương)

Mặt khác, d\alpha = 0, và theo công thức Stokes, ta có

\int_{S^{n-1}} \omega = \int_{\partial D^n} \omega = \int_{D^n} d\omega = \int_{D^n} d\psi^*\alpha = \int_{D^n} \psi^*(d\alpha) = 0

mâu thuẫn với bất đẳng thức phía trên. Định lý đã được chứng mình.

Cách chứng mình trên đòi hỏi thông thạo một chút về giải thích, nhưng có lợi thế là rất ngắn gọn và không đòi hỏi kiến thức chuẩn bị gì mấy về tô pô (ngoài chuyện hình cầu là tập hợp compact có biên là mặt cầu, và chuyện hàm hiên tục không bằng 0 tại điểm nào trên tập compact thì có giá trị tuyệt đối cực tiểu lớn hơn 0, dùng trong bước 1 để chứng minh rằng nếu ánh xạ phi không có điểm bất động thì xấp xỉ trơn đủ gần của nó cũng không có điểm bất động).

Nguồn: hỏi bác wiki.

Print Friendly

2 comments to Định lý điểm bất động Brouwer: một chứng minh ngắn

Leave a Reply

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

  

  

  

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.