Các bài giảng về toán cho Mirella (13)

 

Đường nào đi nhanh hơn ?

Ai lái xe trên đường cao tốc đều biết, khi đường dốc xuống thì không cần đạp ga xe vẫn phóng vù vù vượt quá cả tốc độ cho phép, nhưng khi dốc lên thì xe chạy chậm lại, ì ạch ra nếu không nhấn mạnh ga để giữ tốc độ. Một câu hỏi tò mò là: nếu ta bỏ qua tốc độ tối đa cho phép, và giả sử là chân đạp vào ga lúc nào cũng như nhau, thì đường lúc nào cũng nằm ngang đi nhanh hơn, hay là đường dốc lên dốc xuống đi nhanh hơn?

Papa lấy câu hỏi trên, lý tưởng hóa lên, làm câu hỏi đố Mirella trong buổi học toán này.

Để cho đơn giản, ta sẽ hình dung là có những con đường rất trơn cho xe trượt, trơn đến mức trượt trên nó sẽ không hề bị mất đi năng lượng do cọ sát, không có gió thổi, và lực cản của không khí cũng nhỏ đến mức có thể bỏ qua. Các con đường này có thể nhấp nhô lên xuống, nhưng là thẳng băng nếu chỉ nhìn hai chiều không kể chiều cao.

Giả sử có 1 cái xe trượt từ điểm A đến điểm B cách A một khoảng là d trên một con đường X1 như vậy. Xe không có động cơ, mà chỉ chạy theo quán tính, với một vận tốc ban đầu là v0 nào đó. Nếu đường nằm ngang, thì vận tốc của xe luôn luôn là v0, và xe chạy mất khoảng thời gian là d/v để đi được từ A đến B.

Nay giả sử có một đường X2 khác, tươn tự như X1, nhưng khác X1 là được xây chồi lên ở một đoạn giữa đường từ A đến B (khi xe đi sẽ phải lên dốc rồi xuống dốc). Ngược lại, có đường X3 được khoét lõm xuống (khi xe đi sẽ phải xuống dốc trước rồi lên dốc). Xem hình vẽ. Vận tốc ban đầu của xe trên hai đường này vẫn là v0.

Câu hỏi 1: Trong 3 con đường trên, thì xe đi theo đường nào là mất ít thời gian nhất để đi từ A đến B, vì sao ?

Bây giờ ta xét hai con đường X4 và X5 như sau: X4 là chập lại của 2 lần X3 (có hai chỗ lõm xuống), còn X5 là nhận được bằng cách kéo dài X3 ra gấp đôi (chỗ lõm cũng được kéo dài ra gấp đôi), tức là kích thước của chiều dọc được nhân đôi còn của chiều cao vẫn giữ nguyên. Đoạn đường cần đi cũng nhân đôi lên, thay vì đi từ A đến B thì đi từ A đến C, vẫn với tốc độ xuất phát như cũ.

Câu hỏi 2: Trong hai con đường X4 và X5, thì đi đường nào đến đích nhanh hơn ?

Câu hỏi 3: Xét tất cả các con đường có những chỗ khoét xuống nhưng không có chỗ nào chồi lên quá độ cao của điểm xuất phát, sao cho chúng có cùng diện tích của những phần khoét. (Độ cao của điểm đến cũng bằng độ cao của điểm đi) . Hỏi rằng trong các con đường đó, thì đường nào chạy nhanh nhất (khoét như thế nào là tối ứu ?)

Mirella có thử giải đáp mấy câu trên một cách trực giác, nhưng vì chưa được học cơ học nên chưa giải đáp được chính xác mà cần papa giải thích cho. Các nguyên lý cơ học đã được lý tưởng hóa ở đây là:

1) Năng lượng (cơ học) của xe không đổi trong quá trình chạy (ta đã giả thiết là không bị mất năng lượng).

2) Năng lượng bằng động năng cộng thế năng: Động năng bằng vận tốc bình phương trên hai v^2/2, còn thế năng bằng độ cao h. (Ở đây ta đã “chuẩn hóa” các đơn vị đo lường cho thành vậy), tức là E = v^2/2 + h không đổi.

Ta giả sử thêm là xe  cũng trượt trên đất chứ không bị bật ra khỏi mặt đất bay trong không khí khi xuống dốc. (Nếu dốc không quá mạnh và vận tốc xe không quá lớn thì nó sẽ như vậy).

Chú ý là v và h thay đổi theo thời gian, và vận tốc của xe luôn theo hướng song song với mặt đường. Nếu chỉ tính vận tốc theo chiều dọc (không tính đến độ cao), thì nó nhỏ hơn là vận tốc của xe (gồm cả chiều cao và chiều dọc) khi đi dốc.

Bạn đọc hãy thử giúp Mirella giải 3 câu hỏi trên :-)

(Hôm sau quay lại đây so sánh với lời giải trang sau)

Print Friendly
 

2 comments to Các bài giảng về toán cho Mirella (13)

  • gachduoi MonsterID Icon gachduoi

    Theo em thì nếu ko có ma sát với không khí và với mặt đg (tức là lý tưởng, và xe “trượt” chứ ko chạy bằng bánh xe (xe bình thường ko có ma sát giữa lốp xe với mặt đường thì không thể chạy được)) thì thời gian tốn như nhau. Còn trong thực tế có lẽ đường A đi nhanh nhất. Em đoán vậy.

  • Khoa MonsterID Icon Khoa

    câu 1. Chia đườn đi thành 3 khúc. Khúc đầu và khúc cuối là đường thẳng nên xe chuyển động đều, thời gian chuyển động của 2 xe trên những đoạn này là như nhau.(điểm tiếp giáp thứ nhất giữa đường cong và đường thẳng là A’)
    Xét 2 quĩ đạo cong, lấy M là điểm chính giữa của 2 quĩ đạo cong này. quãng đường từ A’ đến 2 trung điểm M của đường cong bằng nhau(= L), và phương trình quĩ đạo như nhau. Gia tốc của xe đi xuống là a1=h/s >0; của xe a2=-h/s sqrt((v0)^2 – 2Lh/s) nên (-v0+sqrt((v0)^2 + 2Lh/s)) < (-v0+sqrt((v0)^2 – 2Lh/s)) (ở đây ta lấy trị tuyết đối)
    do dó t1<t2. đo đối xứng nên thời gian trên hai đường cong lần lượt là 2.t1 và 2.t2
    Vậy đi trên X3 nhanh hơn đi trên X2.
    Trường hợp đường thẳng X1 với X3 thì có thể mượn hình ảnh con lắc để so sánh(đường cong "biến" thành cung tròn) thời gian chuyển động là nửa chu kì=pi.sqrt(R/g), đối với đường thẳng thì R=vô cùng (đây chỉ là công thức để so sánh trực quan, (thực tế không được phép dùng) nó có một giá trị hữu hạn , còn đường cung tròn thì R=const. nên đi theo X3 nhanh hơn đi theo X1.
    Kết luận đi theo đường X3 là nhanh nhất.

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree