Các bài giảng về toán cho Mirella (10)

 

Vấn đề lát gạch

(Ảnh: Tranh lát tường hình bướm của Escher)

Lần này, papa thảo luận với Mirella về lát gạch nghệ thuật: làm sao làm một vài mẫu viên gạch, không nhất thiết phải là hình vuông, sao cho có thể xếp các viên gạch như vậy khớp vào với nhau để lát được một cái sân hay một bức tường trông đẹp mắt.

Mirella liên phản đối: “Đây là vẽ chứ có phải là toán đâu, Mirella đã đi học vẽ với một họa sĩ chuyên nghiệp rồi, cần gì học với papa”. Papa phải trấn an: đây là vấn đề nghệ thuật, nhưng cũng là vấn đề toán học, ta sẽ thấy có nhiều toán học trong đó.

Ai chưa tin là trong nghệ thuật có thể có toán học, có thể xem một số tranh của họa sĩ Escher (1989–1972), hoặc là nếu có điều kiện thì đến Barcelona xem Sagrada Familia và các tác phẩm khác của Gaudi. Những bức tranh như của Picasso hay Dali ắt hẳn cũng có nhiều ý tưởng hình học trong đó, ví dụ như là biến dạng và chia nhỏ vật thể.

Papa không biết vẽ, nên là dạy cho Mirella chuyện liên quan đến vẽ quả là khó. Sẽ chỉ vẽ gạch đơn giản thôi, còn sau đó Mirella với trí tưởng tượng phong phú và tay vẽ khéo léo muốn vẽ gì thì vẽ :D

Loại gạch lát hình vuông là loại phổ biển nhất. Ngoài ra ở chợ cũng hay có bán gạch hình chữ nhật, có thể lát khớp vào nhau cũng như là gạch vuông vậy. Ở chợ không bán gạch hình bình hành, nhưng các viên gạch hình bình hành nếu có cũng có thể lát khớp với nhau hệt như hình chữ nhật.

Bây giờ ta muốn thiết kế 1 viên gạch hình con thú gì đó. Không phải chỉ là con thú vẽ lê trên gạch, mà là bản thân viên gạch có hình con thù rồi, không còn thừa thêm gì nữa. Ta có thể bắt đầu bằng hình bình hành chẳng hạn. Khoét một vòng ở đáy hình bình hành, dịch lên phía đầu (theo hướng song song với cạnh nghiêng) để vừa tạo thành đầu con thú, vừa khoét phía dưới thành chân. Lấy bớt một ít chỗ bên phải đắp sang bên trái nữa, cho chân được đứng thẳng hơn. Xem hình minh họa dưới đây. Rồi tiếp đến là khoét mồm con thú phía bên phải, đắp sang bên trái được cái đuôi. Rồi ta trang trí thêm một chút, và thế là ta đã được các viên gạch đơn giản hình con thú!  Các viên này có thể lắp khớp vào nhau để lát tường được.

 

Kể ra thì các viên gạch hình con thú phía trên hơi xấu (tất nhiên một phần lỗi là tại papa không biết vẽ đẹp). Nay ta thử thay đổi kiểu một chút, không lát gạch theo kiểu tịnh tiến (với hai hướng tịnh tiến theo các cạnh của hình bình hành: sang ngang và chéo lên trên) nữa, và bây giờ ta chỉ tịnh tiến theo một hướng thôi, chẳng hạn là hướng chéo lên trên, còn khi sang ngang thì thay vì tịnh tiến như trước, ta lộn ngược đầu con thú lại. Khi đó có thể tạo ra các hình mới đẹp hơn chăng? Với ý tưởng “quay ngược đầu” như vậy, ai khéo tay có thể vẽ ra hình đầu ông Escher:

Các phép dịch chuyển để lát gạch đầu ông Escher là: phép tịnh tiến  lên trên hơi chéo về bên trái, và phép quay lộn đầu ông Escher lại. Nếu lộn đầu xếp về bên phải,rồi lại lộn đầu xếp về bên phải tiếp, thì lại thành xuôi đầu và được một phép dịch về bên phải (chếch lên trên hoặc xuống dưới). Để vẽ ra đầu ông Escher, ta cũng có thể bắt đầu bằng một hình bình hành, rồi gọt chỗ này đắp chõ khác. Ví dụ như gọt cằm đắp vào mũi (chỗ cằm gọi đi không đắp ra đằng sau gáy, mà đắp lên phía trên vào mũi, vì là có phép xoay đầu ở đây chứ không dịch ngay theo chiều trái-phải).

Cũng không nhất thiết phải bắt đầu bằng những viên gạch hình chữ nhật hay hình bình hành, mà có thể bắt đầu bằng những viên gạch hình tam giác đều chẳng hạn. Để di chuyến từ tam giác đều này sang tam giác đều khác trên sàn lát, ta có thể tịnh tiến chúng theo 3 hướng khác nhau, và có thể quay chúng theo góc 60 độ nữa. Xuất phát từ ý tưởng đó, papa cùng với Mirella vẽ được cùng nhau các viên gạch kiểu đại loại thế này:

Hình này của papa và Mirella cần dùng đến những 2 loại gạch chứ không phải một loại, và tất nhiên là xấu hơn nhiều so với hình những con bướm của Escher vẽ phía trên đầu.

Tất cả các hình lát gạch trên có chung một điểm, là chúng bất biến theo (ít nhất) 2 phép tịnh tiến về 2 hướng khác nhau (tức là có thể dịch từ một viên theo các phép tịnh tiến đó thì được những viên khác cần lát), và ngoài ra còn có thể có các phép quay gạch nữa. Tất nhiên nếu tịnh tiến xa quá, thì ra cả ngoài khỏi sàn, không cần lát đến đó. Ngoài ra, bản thân các viên gạch có thể có đối xứng nội tại bên trong nữa, ví dụ như là đối xứng trục của các con bướm hay con dơi. Thế là ta có cả đối xứng trong (của từng viên gạch) và đối xứng ngoài (phép tịnh tiến hay phép quay chuyển từ viên này sang viên khác). Tất cả các phép đó hợp lại với nhau được một cái mà trong toán học người ta gọi là “lược nhóm”  (groupoid). Một groupoid gồm có cả “đối xứng trong” và “dịch chuyển ngoài”, có điều phép “dịch chuyển ngoài” tuy có thể đảo nghịc được (dịch về chỗ cũ) nhưng không nhất thiết phải “dịch mãi được” (dịch nhiều quá thì ra cả khỏi sàn lát).

Bài tập

Hãy xem bức tranh lát hình con bướm của Escher có các đối xứng trong và dịch chuyển ngoài (haycofn gọi là đối xứng ngoài) nào ? Vòn kiểu lát phía dưới này (của Kurt Komoda) thì có các phép đối xứng nào ?

Ghi chú

Không phải kiểu lát gạch nào cũng có pattern bất biến theo các phép tịnh tiến nào đó. Chẳng hạn kiểu này của Penrose thì không có phép tịnh tiến bất biến nào:

 

 

 

 

 

 

 

 

Print Friendly
 

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree