Làm sao để dạy tốt (4)

 

(Đây cũng là một phần đã thảo luận hôm 07/09/2012)

Dạy học qua các ví dụ

Teaching by examples is not a way to teach, it is the only way to teach — Albert Einstein

Như Einstein có nói, dạy học bằng ví dụ không phải là một cách dạy học, mà là cách duy nhất để dạy học. Điều này đặc biệt đúng khi dạy các khác niệm và các phương pháp khoa học. Tôi cũng đã mấy lần bàn về điều này, chẳng hạn trong dãy bài “Một số điều nên và không nên trong việc dạy toán” viết năm 2009, gộp lại trong văn bản sau: Math_Teaching_NTZ2009.

Ở đây, chúng ta sẽ bàn thêm về vấn đề: tại sao cần dạy bằng ví dụ, và thế nào là các ví dụ hay ?

Để làm ví dụ minh họa cụ thể cho việc thảo luận này, chúng ta sẽ bàn về việc dạy một khái niệm khá quan trọng trong toán học nói chung và đại số trừu tượng nói riêng, gọi là nhóm (group). Bạn đọc nào mà chưa biết khái niệm “nhóm” trong toán học là gì, thì đừng sợ, cứ đọc tiếp sẽ hiểu nhóm là gì. Nó là một khái niệm hết sức tự nhiên và trực giác, chẳng cần phải là “nhà toán học” cũng có thể hiểu được bản chất và công dụng của nó. Thậm chí học sinh cấp hai cũng có thể hiểu nhóm là gì, nếu được dạy đúng phương pháp.

(Ảnh: một “thu hoạch” sau khi dạy con gái đang học lớp 3ème (tương đương lớp 9 của VN) một bài về đối xứng)

Khái niệm nhóm, cũng như tất cả các khái niệm toán học khác mà tôi biết, đều nảy sinh trong toán học một cách hết sức tự nhiên, từ các quan sát nào đó, để đáp ứng các nhu cầu giải quyết các vấn đề thực sự nào đó. Không có khái niệm nào là từ trên trời rơi xuống cả, tuy rằng trong một số giáo trình hay bài giảng, nhiều khái niệm được đưa ra một cách như là từ trên trời rơi xuống, khiến học sinh, sinh viên không hiểu nổi tại sao lại phải học khái niệm đó để làm gì (trừ việc thầy bắt học để trả thi).

Trong buổi thảo luận 07/09/2012, tôi có hỏi các bạn tham dự là, các bạn được dạy, hay đã đi dạy, về khái niệm nhóm như thế nào ?

Bạn H. kể: khi học đại học ở VN, đầu tiên là học  định nghĩa nửa nhóm, sau đến định nghĩa nhóm.

Bạn M. (từng dạy về nhóm) kể: khi đi dạy về nhóm (theo một chương trình của ĐHSP), đầu tiên đưa ra định nghĩa nhóm với các phép tính (phép tính nhị thức của nhóm — tức là phép nhân; và phép nghịch đảo nữa) và các tiên đề. Tôi hỏi: thế lấy các vị dụ nào ? M. trả lời: lấy tập số thực, rồi tập số phức, rồi nhóm nhân tính như là tập số thực bỏ đi điểm 0. Tôi hỏi: tập số thực và tập số phức thì sinh viên đã biết cả rồi, cần gì phải đưa thêm khái niệm nhóm vào làm gì, có ví dụ nào hay hơn không ? M. trả lời: có ví dụ phức tạp hơn như nhóm thương, và có ví dụ kẻ một bảng nhép nhân của các phần tử rồi kiểm tra đấy là một nhóm.

Cách mà bạn H. được học về nhóm có lẽ tương tự cách mà bạn M. dạy về nhóm, và tương tự cách dạy ở hầu hết các đại học ở VN về nhóm cho đến nay, theo tôi hiểu. Cách đó đi theo một giáo trình đại số trừu tượng nào đó, và việc dạy một khái niệm mới như khái niệm nhóm trong đó đi theo mấy bước sau:

1) đưa ra định nghĩa hình thức (với hai phép toán và một tiên đề, viết đầy đủ ra tốn khá nhiều dòng)

2) đưa ra một số ví dụ khá hiển nhiên (các tập thỏa mãn tính chất nhóm)

3) một ví dụ “không hiển nhiên” được đưa ra theo cách: kẻ một bảng phép tính, và kiểm tra bảng đó thỏa mãn các tiên đề của một nhóm.

(ngoài ra có thể còn những bước khác, như một số tính chất đơn giản, v.v.)

Cách dạy trên được “nhập khẩu” từ nước ngoài vào VN trong thế kỷ trước (trước đó ở VN chưa có dạy môn này, các nhà toán học đầu tiên của Việt Nam là được đào tạo ở nước ngoài rồi du nhập chương trình về VN), có lẽ đúng vào lúc trường phái hình thức đang thịnh hành trong cách giảng dạy toán học trên thế giới, và cho đến nay nó chưa có điều kiện thay đổi ở VN. (Hy vọng những người viết giáo trình mới thay thế các giáo trình cũ sẽ viết theo lối hiện đại, trực giác, dễ hiểu hơn !). Trong 3 bước trên, có đến 2 bước là “từ trên trời rơi xuống”: bước định nghĩa hình thức (mà thiếu giải thích từ đâu nảy sinh ra định nghĩa như vậy, để làm gì), và ví dụ hình thức ở cuối (cái bảng đó từ đâu ra ?!). Bước thứ hai, gồm các ví dụ đơn giản (như là tập số thực, tập số phức, tập số phức bỏ đi điểm 0, v.v.) cũng không được hấp dẫn, vì sinh viên đã biết rõ các tập đó rồi, thêm định nghĩa về nhóm thì có giúp ích gì trong việc hiểu thêm các tập đó ?!

Các bạn tham gia thảo luận có đồng ý với tôi một điểm là: tuy có được học hay có đi dạy về nhóm, nhưng học / dạy không thấy hay, chẳng biết từ đâu ra, để làm gì, và sau đó nói chung cũng chẳng dùng được vào việc gì.

Vậy phải dạy về nhóm như thế nào, để sinh viên hiểu đúng bản chất của nó, và có thể dùng được nó ?

Các ví dụ về nhóm

A good definition is 5 good examples – V.I. Arnold

Nói theo nhà toán học V.I. Arnold, thì một định nghĩa tốt chẳng qua là 5 ví dụ tốt. Bản thân các ví dụ phải hay, phải tự nhiên, phải thể hiện đúng bản chất của vấn đề, chứ không “từ trên trời rơi xuống” hay là chỉ toàn ví dụ “tầm thường” không thể hiện được ý nghĩa của khái niệm mới.

Thay vì đưa ngay ra định nghĩa hình thức của nhóm, ta hãy dùng định nghĩa sau, tuy chưa viết ra một cách chặt chẽ toán học, nhưng vừa trực giác, vừa thể hiện đúng bản chất của nhóm: Một nhóm chẳng qua là tập các đối xứng của một vật nào đó ! Với định nghĩa này, có thể lấy ngay rất nhiều ví dụ về nhóm.  Cầm bất kỳ vật gì trong tay là có thể chỉ ngay ra một (hay thậm chí nhiều) nhóm liên quan. Chẳng hạn vài ví dụ:

1) (Đây là một trong các ví dụ đầu tiên tôi dùng để dạy con trai về nhóm): lấy cái rubik ra quay. Các phép biến đổi rubik chính là một nhóm hữu hạn (biến đổi màu các mặt do quay, nhưng rubik vẫn giữ nguyên hình khối lập phương, nên có thể coi các biến đổi này là một loại đối xứng: một đổi xứng tức là một biến đổi nhưng vẫn bảo toàn cái gì đó, và biến đổi ngược lại được). Tôi cầm rubik và lặp đi lặp lại 2 động tác sau: xoay phía trên 1 cái (quay90 độ theo chiều kim đồng hồ), rồi xoay bên phải 1 cái (cũng 90 độ theo chiều kim đồng hồ), rồi lại xoay phía trên 1 cái, rồi lại xoay bên phải một cái, cứ thể. Màu của rubik nhảy loạn lên, nhưng sau một hồi nhảy loạn như vậy thì lại … trở về đúng vị trí ban đầu. Tôi đố con trai vì sao vậy ? (Đố bạn đọc biết vì sao ? Đây là một tính chất cơ bản của nhóm hữu hạn)

2)  Tôi cầm 1 cái cốc tròn (không có quai) trên tay. Khi tôi xoay cái cốc thì hình thù vị trí của nó trong không gian không hề thay đổi. Như vậy ta có 1 nhóm, là nhóm xoay cái cốc (nó cũng như là xoay bánh xe, xoay đồng xu, v.v.), gọi là nhóm S1. Nếu tôi cho phép cốc chuyển động trong không gian (lấy tay khua cái cốc) nhưng không bóp méo nó đi (tức là hình thù vẫn giữ nguyên nhưng vị trí được phép thay đổi) , thì được 1 nhóm các chuyển động như vậy (gọi là nhóm chuyển động Euclid E(3) ). Nếu tôi cố định 1 điểm của cái cốc, cho nó chuyển động nhưng vị trí của cái điểm đã đánh dấu không được dịch đi, thì thành nhóm khác, là nhóm xoay SO(3)

3) Thay vì cái cốc, tôi cầm cái cục lau bảng. Cái cục này có hình như hình hộp, 1 mặt có giẻ để lau bảng. Tôi để cục lau bảng trên tay. Chỉ có 1 phép di chuyển cục đó, sao cho chỗ nó chiếm trong không gian vẫn y thế, chính là phép xoay nó 180 độ trên tay tôi. Nếu xoay 2 lần như vậy, thì vị trí của nó lại về hệt như cũ. Như vậy cái cục lau bảng có nhóm đối xứng gồm 2 phần tử: “để yên” và “xoay 180 độ”. (Người ta gọi các nhóm 2 phần tử là Z2)

4) Ta thử lấy 1 hình tam giác và xét nhóm các đối xứng của nó (di chuyển hình tam giác sao cho vẫn trùng với hình ban đầu). Nếu hình tam giác thường (các cạnh khác nhau) thì nhóm đối xứng là tầm thường (chẳng có cách di chuyển nào, ngoài cách để yên); nếu nó là tam giác cân thì có 1 cách không tầm thường là ta lật hình tam giác lại (nếu được phép lật như vậy), và tức là nhóm đối xứng của tam giác cân là nhóm 2 phần tử (Z2); nếu là tam giác đều thì nhiều đối xứng hơn: ngoài phép lật còn có phép xoay (120 độ và 240 độ) và nhóm đối xứng tổng cộng có 6 phần tử (vì sao vậy ?). Đối với các tứ giác, ngũ giác, v.v. cũng có thể làm tương tự. Ta thấy ngay ý nghĩa hình học ở đây: hình nào càng “cân”, càng “đều” thì tức là hình có nhóm đối xứng càng to ! Người ta hay phân loại các vật thể toán học (từ phương trình đại số, các hình trong không gian, v.v. cho đến các phương trình đạo hàm riêng) bằng cách phân loại các nhóm đối xứng của chúng !

5) Tập số thực R trừ đi điểm 0 là một nhóm (nhóm nhân tính). Nếu ví dụ chỉ dừng ở đó thì chán (các tính chất của R ta đã biết chán rồi, cần gì khái niệm nhóm). Nhưng nếu nhìn ví dụ đó như sau sẽ thấy thú vị hơn. Lấy 1 không gian, như là không gian Euclid R3 bình thường chẳng hạn. Xét các phép homothethy trên đó (phép co giãn hình: nhân với 1 hệ số thực khác không). Khi đó tập các homothethy  chính là một nhóm, và nhóm này chính là (tương đương với) nhóm nhân tính R*.

Hy vọng với mấy ví dụ trên, bạn đọc, dù chưa bao giờ biết khái niệm nhóm, hiểu được nhóm là gì: 1 nhóm chính là một tập các phép đối xứng của một vật. Một phép đối xứng có nghĩa là một phép biến đổi đảo nghich được mà bảo toàn các tính chất nào đó (ví dụ như là bảo toàn hình dáng của vật, hay là bảo toàn tỷ lệ giữa các cạnh, v.v.). Tùy theo ta yêu cầu bảo toàn ít thứ hay nhiều thứ, mà nhóm đối xứng tương ứng sẽ to (có nhiều đối xứng) hay nhỏ (chỉ có ít đối xứng).

Sau khi hiểu trực giá về nhóm như trên rồi, ta có thể nói đến hai phép tính tự nhiên của nhóm:

- phép đảo nghịch (quay ngược lại về chỗ cũ)

- phép nhân: phép nhân chẳng qua là “composition”: tức là thực hiện phép đối xứng này tiếp theo phép đối xứng khác.

Toàn bộ định nghĩa hình thức của một nhóm, với hai phép toán trên và các tiên đề đi kèm,  chẳng qua là để viết lại một cách chặt chẽ định nghĩa “một nhóm là một tập các đối xứng của một vật”.

Bonus: một bài tập về nhóm

Bạn nào tò mò thử làm bài này. Tuy trong đề bài không có chữ “‘nhóm” nào, nhưng nó là một ví dụ về nhóm !

Giả sử f: R -> R là một hàm số thực thỏa mãn f(f(x)) = -x với mọi x. Chứng minh rằng f có vô số điểm gián đoạn (không liên tục).

Tìm hiểu lịch sử các khái niệm khoa học

Các học sinh sinh viên, khi học các khái niệm khoa học mới, ít được học về lịch sử sự hình thành các khái niệm đó. Một trong các lý do là thời gian dành cho môn học có hạn, không đủ thời gian để học cả về lịch sử.

Tuy nhiên, đây cũng là một điểm hạn chế của chương trình, bởi vì thực ra, hiểu lịch sử sự hình thành các khái niệm thường giúp ta hiểu sâu thêm ý nghĩa của bản thân các khái niệm. Nếu như học sinh không có thời gian học hay không được học về lịch sử khoa học, thì ít ra người thầy nên bỏ thời gian tìm hiểu lịch sử khoa học các môn mình dạy, vì điều này sẽ ảnh hưởng tốt đến việc dạy. Trong lý thuyết nhóm chẳng hạn, tìm hiểu một chút lịch sử lý thuyết nhóm sẽ nhận thấy rằng các nhóm không “từ trên trời rơi xuống”, mà xuất phát từ các vấn đề đại số (Abel, Galois, …), số học (Gauss, …), hình học (Klein, Lie, ..), v.v. khác nhau, và chúng đều xuất hiện như là tập các đối xứng của các vấn đề đó.

Hồi tôi là sinh viên ở Nga, có một môn học bắt buộc là môn “Lịch sử toán học”. Rất tiếc hồi đó tôi học không thấy hay (cũng có thể vì thời đó bị bỏ đói nên hay trốn học, hoặc do không có được giáo viên dạy ấn tượng) nhưng về sau thỉnh thoảng tôi đọc các đoạn lịch sử toán học thấy rất thú vị và hiểu thêm được điều này điều nọ. Tiếc là rất ít nơi trên thế giới có môn “lịch sử toán học” trong chương trình cho sinh viên ngành toán.

Nhân tiện nói về một điểm trong triết lý giáo dục: Môn lịch sử ở trường phổ thông, ngoài các loại “lịch sử chính trị, chiến tranh”, cần đưa vào cả lịch sử khoa học nữa, mới giúp học sinh hiểu thêm về ý nghĩa của khoa học.

Khi tôi dạy cho sinh viên, thỉnh thoảng có chen vào vài đoạn lich sử, hy vọng gây tò mò hứng thú thêm cho SV. Trong quyển sách về xác suất thống kê tôi viết với GS Đỗ Đức Thái, cũng có một số tóm tắt lịch sử (đặc biệt là tiểu sử những nhân vật chính gây dựng nên ngành này), với hy vọng là nhiều người sẽ thấy những thông tin đó thú vị và có ích cho việc học kiến thức xác suất thống kê.

 

 

Print Friendly
 

5 comments to Làm sao để dạy tốt (4)

  • Mèo MonsterID Icon Mèo

    Trong loạt bài của anh Dũng em thích nhất bài này đấy, chắc vì nó có ví dụ cụ thể “làm sao để dạy tốt” :D.

  • Bùi Biên MonsterID Icon Bùi Biên

    Bài này hay quá Thầy ơi.

  • Tam Nguyen MonsterID Icon Tam Nguyen

    Hồi thời sinh viên và cho đến nay em có đọc hoặc xem qua nhiều sách toán đại học viết bằng tiếng Việt. Sách có kèm theo lịch sử các khí niệm, các vấn đề của toán học sách trình bày thì rất ít. Một ví dụ hiếm hoi là quyển đại số tuyến tính của Ngô Việt Trung. Em thấy hình như không tìm thấy quyển thứ 2 giống vậy.
    Phần lớn các sách và cả giảng viên nữa đưa kiến thức “Từ trên trời xuống”. Như thế thì sinh viên học toán làm sao hứng thú đây! Bản thân em cũng vậy. Tự đọc một sách toán hay nghe giảng kiểu như trên thì thấy hứng thú. Còn như mấy quyển kiểu “kinh điển” và kiến thức khó nữa thì :(.
    Thực sự một người dạy toán hay biên soạn sách toán em nghĩ nên chú trọng khía cạnh đã nói. Có như thế thì nhiều “sự kiện không tự nhiên” sẽ ít đi, và sinh viên thích học toán hơn.

    Xin cám ơn bài viết của Admin!

  • Rất cảm ơn thầy vì loạt bài viết bổ ích. Em xin phép thầy copy về trang nhà được không ạ?
    Nhân tiện trong bài viết có một vài lỗi chính tả (mấy bài kia cũng có nhưng ít hơn):
    - Bạn M kể… tức à phép nhân; thế lấy các vị dụ nào ? ; rồi nhó nhân tính;
    - 4) … Ta thấy ngay ỹ nghĩa;
    - Hy vọng với… một phép biến đổi đảo nghich được;
    - phép đảo nghich (quay ngược lại về chỗ cũ).

    Thực ra thì mấy lỗi nhỏ này cũng không ảnh hưởng gì đến chất lượng bài viết!

  • admin MonsterID Icon admin

    Cảm ơn Lam đã chỉ ra các lỗi chính tả. Tôi sẽ sửa lại.

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree