Các bài giảng về toán cho Mirella (8)

 

Đề tài của buổi học lần này là một loại bài toán đại số khá đơn giản, nhưng cũng khá gần thực tế:

Bài toán bò ăn cỏ

Giả sử có một đồng cỏ, ở đó cỏ moc theo tốc độ không đổi trong năm. Giả sử là nếu cho một đàn bò 50 con ăn cỏ ở đó liên tục, thì sau 60 hôm sẽ ăn hết sạch cỏ. Còn nếu cho một đàn bò 80 con ăn cỏ ở đó, thì chỉ  30 hôm là ăn hết sạch cỏ. Hỏi rằng:

1) Với đàn bò là bao nhiêu con ăn cỏ ở đó, thì sau 15 hôm sẽ hết sạch cỏ ?

2) Để cho cỏ không mọc quá nhiều mà cũng không bị hết đi, thì nuôi bao nhiêu con bò ở đó quanh năm là vừa phải ?

Giả thiết có thêm ở đây là: các con bò hàng ngày ăn một lượng cỏ bằng nhau, và ngày nào cũng ăn cùng một lượng cỏ như vậy.

Papa đố Mirella bài toán này từ buổi chiều, đợi đến tối xem Mirella giải ra sao, rồi mới thảo luận tiếp.

Bình luận

Bài toán này là môt mô hình đơn giản của vấn đề cân bằng sinh thái. Nếu thay bò là người, nhiều người quá và dùng nhiều tài nguyên quá, thì chẳng mấy chốc thế giới sẽ cạn kiện tài nguyên, và hầu hết các loài vật hoang cũng sẽ bị người săn bắn chết hết ! Thế giới đang trên con đường khủng hoảng, khi mà con người hàng năm dùng đến 130% khả năng tái sinh của trái đất. Bởi vậy cần hạn chế sự gia tăng dân số, và giảm bớt nhu cầu khai thác thiên nhiên đi, không thì thế giới sẽ sớm bị hủy hoại.

Giải thế nào ?

Mirella đã từng được nghe nói đến các bài toán gồm có hai phương trình và hai ẩn, như kiểu bài toán đố quen thuộc sau:

Vừa gà vừa cho, bó lại cho tròn, bai mươi sáu con, một chăm chân chẵn, hỏi có mấy gà mấy chó.

Tuy nhiên, gặp phải bài toán bò ăn cỏ vẫn loay hoay không biết cách thiết lập phương trình để giải, nên tối đến papa phải giải thích cho toàn bộ cách giải.

Thực ta thì nên tìm lời giải cho câu hỏi thứ 2 trước câu hỏi thứ nhất.

Gọi lượng cỏ mà một con bò ăn hết trong một ngày là một “đấu”, và ta dùng “đấu” là đơn vị để đo lượng cỏ.

Gọi X là số cỏ mọc lên thêm mỗi ngày, tính theo đơn vị đấu. Nói cách khác, nếu cho đúng X con bò ăn cỏ trên đồng, thì chúng sẽ ăn vừa đúng bằng số cỏ mọc ra hàng ngày.

Gọi Y là số đấu cỏ đã có sẵn trên đồng vào thời điểm ban đầu. Số cỏ mà đàn bò 50 con ăn hết trong 60 ngày bằng số cỏ ban đầu công với số cỏ mọc được ra trong 60 ngày (vì sau 60 ngày là ăn hết sạch không còn cỏ dự trữ), nên ta có phương trình:

(1) Y + 60 X = 50 \times 60

Có thể lý luận kiểu khác như sau: trong số 50 con bò, thì có X con là ăn cỏ mọc ra hàng ngày, còn 50 -X con là ăn vào cỏ có sẵn. Số cỏ Y có sẵn đủ cho 60 ngày, nên ta có phương trình

(1′) Y = (50-X) \times 60

Tất nhiên, hai phương trình (1) và (1′) là tương đương với nhau.

Tương tự như vậy, với 80 con và 30 ngày, ta được phương trình

(2) Y + 30 X = 30 \times 80

hay là

(2′) Y = (80-X) \times 30

Sau khi đã thiết lập được hai phương trình (1) và (2), thì việc giải chúng không mấy khó khăn. Chẳng hạn, ta có thể lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) để được:

30 X = 50\times 60 - 80 \times 30 = 3000 - 2400 = 600, từ đó suy ra

X = 600/30 = 20.

Có nghĩa là, cánh đồng đó nếu để cho 20 con bò ăn có thì có sẽ không bị thừa ra hay hết đi. Đây chính là lời giải của câu hỏi 2.

Thế còn câu 1 thì sao ?

Trước hết, ta có thể tính Y từ X và phương trình (1′) chẳng hạn:

Y = (50-X) \times 60 = (50-20)\times 60 = 1800

Tương tự như (1) và (2), ta có thể lập phương trình (3) cho trường hợp 15 ngày: hai đại lượng X = 20 và Y =1800 đã biết, còn đại lượng Z là số con bò chưa biết:

1800 = (Z - 20) \times 15

Từ đó suy ra ngay:

Z = (1800/15) + 20 = 140

Như vậy, nếu cho 140 con bò ăn cỏ trên đồng đó, thì chỉ sau 15 ngày là hết sạch cỏ.

Ghi chú

Hệ phương trình (1) và (2) của bài toán bò ăn cỏ này, cũng như hệ phương trình trong bài toán “vừa gà vừa chó”, là các hệ phương trình tuyến tính, với 2 ẩn và hai phương trình. Cách giải thông dụng khi gặp hệ phương trình như thế này là cách loại bớt ẩn: lấy hai phương trình cộng trừ cho nhau (sau khi nhận với các hệ số nào đó) để được một phương trình trong đó chỉ còn 1 ẩn thôi. Giải để tìm ẩn đó, rồi quay về phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại. Với 3 phương trình tuyến tính và 3 ẩn (hay n phương trình và n ẩn) cũng giải bằng cách bỏ bớt  ẩn như vậy.

 

Print Friendly
 

5 comments to Các bài giảng về toán cho Mirella (8)

  • Trung T Nguyen MonsterID Icon Trung T Nguyen

    Cách giải này có giả thiết ẩn là bò nó ăn cỏ từ ngọn đến gốc với tốc độ tuyến tính. Nếu bò nó gặm cả gốc từng cụm cỏ một thì khối lượng cỏ mọc lại trên đồng sẽ không còn là tuyến tính nữa.

  • admin MonsterID Icon admin

    Tất nhiên mô hình của bài toán phải đơn giản hóa đi rồi, chứ mô hình phức tạp quá thì ai mà giải được :D

    (cỏ có hệ thống rễ phía dưới đất rất là lớn, nên có thể tam cọi rằng có vặt trụi phía trên thì nó vẫn mọc nhanh gần như cũ)

  • abc MonsterID Icon abc

    Ở VN (với ngọn cỏ tự do) thậm chí con người không xài tới được một chút ngọn (cỏ), sao con bò xài được cả cụm (cỏ) được hả ông bạn “lấp biển”:http://zung.zetamu.net/2012/09/cac-bai-gi%e1%ba%a3ng-v%e1%bb%81-toan-cho-mirella-4/comment-page-1/#comment-67181 vá không khí ?

  • Câu 3: đàn bò bị thịt không còn con nào, hỏi cỏ bắt đầu được trồng từ bao giờ?

  • abc MonsterID Icon abc

    Các giả thiết của câu 3 thật “trừu tượng” như vật lý lý thuyết. Thử trả lời một cách “dân dã”: cỏ sẽ mọc (lại) không phải khi người biết “xơi cỏ” mà khi con người biết thở cái “không khí tự do” và cần một bãi cỏ xanh trước hiên nhà ?

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree