Các bài giảng về toán cho Mirella (6)

 

Cắt ghép  hình vuông thành hình tam giác đều

Đề bài của buổi học lần này là:

Hãy cắt hình vuông thành một số mảnh sao cho ghép lại được thành một tam giác đều

Tất nhiên, phải làm sao cho khi ghép lại được đúng khít một hình tam giác đều, các mảnh không bị chồng lên nhau, và cũng không thừa mảnh nào. Một hệ quả hiển nhiên là, hình tam giác đều nhận được phải có diện tích bằng diện tích hình vuông.  Ngoài ra, ta sẽ chỉ cắt hình thành các mảnh là các đa giác chứ không cắt theo đường cong. (Một cách trực giác, dễ thấy rằng nếu cắt theo đường cong thì chỉ thêm khó ghép lại chứ không làm cho dễ ghép lên tạo nào). Các hình không nhất thiết phải lồi, mà có thể lõm.

Bài toán trên có thể chia ra thành hai phần: phần thứ nhất là về sự tồn tại một phép cắt ghép hình như vậy, và phần thứ hai là tìm cách cắt ghép hình sao cho chỉ cần dùng đến ít mảnh nhất. Tổng quát phần thứ nhất lên cho mọi hình có cùng diện tích, ta được hai bài toán sau:

Bài 1: Có đúng hay không rằng với hai hình đa giác bất kỳ có cùng diện tích, có cách cắt hình này thành một số hữu hạn các mảnh rồi ghép lại thành hình kia.

Bài 2: Cắt hình vuông rồi ghép lại thành tam giá đều, sao cho chỉ phải cắt thành ít mảnh nhất có thể.

Hai bài trên thực ra tương đối độc lập với nhau về mặt suy luận, mỗi bài cần một cách tiếp cận khác nhau, vì một bài chỉ cần chứng minh sự tồn tại, còn một bài là phải chỉ ra đích danh phương pháp tốt nhất. (Đi theo chứng minh sự tồn tại một cách cắt ghép thì thường sẽ được một cách cắt ra thành rất nhiều mảnh, chứ không cho biết gì nhiều về cách tối ưu phải như thế nào). Bởi vậy, làm bài nào trước trong hai bài này cũng được, chứ không nhất thiết phải theo thứ tự bài 1 rồi đến bài 2. Papa cùng với Mirella thảo luận bài 2 trước, rồi đến bài 1.

Bài 2, cũng như rất nhiều vấn đề khác trong toán học, hay trong công nghệ cũng vậy: một khi tìm ra được lời giải, thì việc kiểm tra lời giải rất là dễ, gần như là hiển nhiên. Nhưng khi chưa biết lời giải mà tìm thì khá là khó, vì có rất nhiều khả năng chọn lựa khác nhau, phải làm rất nhiều phép thử khác nhau. Bạn đọc nào chưa biết bài toán này, hãy thử tự tìm lời giải trước khi so sánh với lời giải dưới đây.

Gợi ý: số mảnh tối ưu là 4 mảnh. Tức là có thể cắt hình vuông thành 4 mảnh rồi ghép lại thành tam giác đều, nhưng với 2 hoặc 3 mảnh thì không được.

 Khởi động giải Bài 2

Vì Bài 2 thực ra là bài khó, nên tuy papa có bảo Mirella nghĩ cách đi, nhưng sau một hồi lâu không nghĩ được, thì papa phải chữa lời giải cho Mirella.

Một cách suy luận toán học khi gặp một bài toán khó là, khi chưa biết làm thế nào để giải nó ngay, thì ta “làm quen” với nó bằng cách tấn công vào những chỗ “râu ria” xung quanh nó đã.

Để khởi động, trước hết ta tính tỷ lệ cạnh hình tam giác đều so với cạnh hình vuông. Gọi cạnh hình tam giác đều là b, cạnh hình vuông là a. Theo định lý Pythagore, thì bình phương của độ dài của đường cao tam giác đều sẽ bằng b^2 - (b/2)^2 = 3b^2/4, có nghĩa là chiều cao của tam giác đều bằng \sqrt{3}b/2, và diện tích tam giác đều bằng đáy nhân chiều cao chia đôi, tức là bằng \sqrt{3}b^2/4. Vì diện tích tam giác đều bằng diện tích hình vuông, tức là bằng a bình phương, nên lấy căn bậc hai ta được đẳng thức sau đây: \sqrt[4]{3} b / 2 = a, hay nói cách khác, tỷ lệ giữa b và a là 2/\sqrt[4]{3} \approx 1.52. Tất nhiên, điều này chưa nói lên điều gì về việc xây dựng cách cắt ghép ra so, mới chỉ cho ta một ước lượng về tỷ lệ giữa cạnh tam giác đều với cạnh hình vuông. Con số này “hiển nhiên” là nằm giữa 1 vào 2. Việc nó lớn hơn 1.5 một chút là “hơi ngẫu nhiên”, nếu không tính cụ thể ra thì cũng không biết được, tuy rằng điều này cũng không phải là quan trọng lắm ở đây.

Một bước khởi động khác, có thể quan sát rằng, khi hình vuông cắt ra ghép lại được thành tam giác đều, thì cũng có nghĩa là tam giác đều cắt ra ghép lại được thành hình vuông (cũng với những mảnh đó !). Nói theo kiểu toán học, đây là một quan hệ tương đương. (Điều này sẽ đặt biệt quan trọng khi giải Bài 1, tuy ở đây không cần dùng nó cũng được, nhưng nó vẫn là 1 quan sát thú vị để hiểu thêm vấn đề). Nếu ai không thích cắt hình vuông ghép thành tam giác, thì thử làm ngược lại, tức là cắt tam giác ghép thành hình vuông cũng được.

Một bước khởi động khác nữa, là chứng minh rằng là chỉ dùng 2 mảnh thì không được. Về trực giác, điều này gần như hiển nhiên, nhưng ta thử chứng minh chặt chẽ xem sao, biết đâu trực giác đánh lừa ta thì sao. Thử lý luận xem vì sao vậy ?

Khi hình vuông biến thành hình tam giác, thì các góc vuông phải biến đi mất. Biến bằng cách nào ? Hoặc là nó bị băm nhỏ ra bằngđường cắt đi qua góc vuôngđó, hoặc đỉnh của nó được xếp vào 1 cạnh của hình tam giác, hoặc là đỉnh của nó được xếp vào phía bên trong hẳn của hình tam giác. Nếu chỉ cắt hình vuông làm 2 hình đa giác, thì có ít nhất 2 góc vuông còn nguyên không bị cắt. Nếu như xếp đỉnh của 1 trong hai góc vuông đó vào bên trong hình tam giác, thì phần bù của đỉnh đó cần ít nhất 2 mảnh khác và như vậy tức là cần ít nhất 3 mảnh, mâu thuẫn, trừ khi có mảnh có góc tù 270 độ, nhưng nếu có góc tù như vậy thì phần bù của nó trong hình vuông lại là 1 góc vuông khác cần xếp. Do đó, kiểu gì cũng phải có đỉnh góc vuông cần xếp ở cạnh của hình tam giác Vì chỉ có 2 mảnh, nên có cách duy nhất là 2 góc vuông khớp vào nhau, và hai mảnh đó có 1 cạnh trùng nhau. Cách này ứng với việc cắt hình vuông theo một đường chéo rồi xếp 2 mảnh lại thành tam giác. Chỉ có điều tam giác nhận được là tam giác vuông cân chứ không phải tam giác đều. Ngoài ra, còn đúng một cách khác cắt thành 2 mảnh rồi ghép lại thành tam giác, với tam giác nhận được là tam giác vuông có tỷ lệ 1:2 giữa 2 cạnh của góc vuông.  Cách thứ hai này dùng một đường cắt đi qua một đỉnh và trung điểm của một cạnh của hình vuông.

Bài tập: Hãy liệt kê đầy đủ các tam giác nhận được bằng cách cắt hình vuông thành 3 mảnh rồi ghép lại.

Chẳng hạn, ngoài hai tam giác tạo được bởi 2 mảnh (nếu tạo được bởi 2 mảnh thì cũng tạo được bởi 3 mảnh, vì chỉ cần cẳt một mảnh ra làm đôi rồi ghép lại như cũ), có các tam giác mà có chiều cao dài gấp đôi cạnh đáy tạo được bằng 3 mảnh, và các tam giác có chiều cao bằng một nửa cạnh đáy cũng tạo bằng 3 mảnh. Ngoài ra còn các tam giác nào khác nữa không ?

Lời giải với 4 mảnh

Đoạn khởi động phía trên được cố tình viết dài dòng, để người xem có thời gian ngẫm nghĩ về bài toán chứ không “ăn sẵn” lời giải ngay. Cái hay của một vấn đề nhiều khi nằm chủ yếu ở bản thân quá trình suy nghĩ khám phá vấn đề đó, chứ không phải nằm ở lời giải cuối cùng, tuy rằng lời giải cuối cùng cũng rất hay.

“Một hình vẽ bằng ngàn chữ viết”. Hãy nhìn hình vẽ dưới đây, sẽ hiểu ngay lời giải:

Khi papa vẽ hình này lên bảng cho Mirella xem lời giải, Mirella trầm trồ: “cái này đẹp như là tác phẩm nghệ thuật !”

Ý tưởng của lời gian thật đơn giản, một khi mà ta đã tìm ra nó: Cắt hình vuông ABCD theo các đường PQ, È, và FG. Sau đó quay hình BEGP một góc 180 độ theo đỉnh E để được CEHJ. Quay hình DFGQ một góc 180 độ theo đỉnh F để được LFIK. Rồi tịnh tiến APQ đến LJK. Như thế là ta đã biến hình vuông ABCD thành hình tam giác GHI.

Bây giờ phải kiểm tra xem là có thể làm như vậy được, và tam giác GHI là tam giác đều.

Để BE quay được thành CE, thì ta phải lấy điểm E là trung điểm của cạnh BC. Đấy là cách xây dựng điểm E.

Tương tự như vậy, E là trung điểm của GH, F là trung điểm của GI, và EG = FG = 1/2 cạnh của tam giác đều, và tam giác EGF cũng là tam giác đều con với cạnh bằng nửa của tam giác đều “mẹ” GHI.

Như vậy cách xây dựng các điểm F và G như sau: điểm F là điểm trên đoạn CD sao cho EF = 1/2 cạnh của tam giác đều (có thể hình dung là F là giao của CD với một vòng tròn với tâm là E và bán kính là 1/2 cạnh của tam giác đều). Sau đó xây dựng tam giác đều con EFG trong hình vuông để có điểm G. Sau đó kẻ đường thẳng song song với EF đi qua G, nó sẽ cắt AB tại P và AD tại Q. Và thế là ta được các đường cắt cần tìm.

Câu hỏi: trong cách xây dựng trên, tại sao tam giác APQ lại dịch chuyển được khớp vào chỗ tam giác LJK ? Để thấy điều đó, trước hết kiểm tra là chúng đồng dạng với nhau (có các góc bằng nhau). Sau đó kiểm tra là chúng có cùng diện tích (chính vì hình tam giác GHI có diện tích bằng hình vuông ABCD), nên suy ra là chúng bằng nhau.

Tóm tắt lời giải Bài 1

Có thể làm theo các bước sau:

1) Mọi hình đa giác đều cắt được ra thành một bộ các hình tam giác

2) Mọi hình tam giác đều cắt ghép được thành hình chữ nhật (Mirella tự nghĩ ra điều này rất nhanh)

3) Mọi hình chữ nhật đều cắt ghép được thành hình vuông cùng diện tích. Suy ra là mọi hình chữ nhật đều cắt ghép được thành 1 hình chữ nhật có một cạnh cho trước.

4) Tổng hợp 1),2),3), để có là: mọi hình đa giác cắt ghép được thành một bộ các hình chữ nhật có cùng 1 cạnh cho trước. Vì chúng cùng cạnh, nên chúng có thể xếp chồng lên nhau thafnh1 hình chữ nhật có cạnh cho trước. Nếu lấy cạnh đó là căn bậc hai của diện tích hình ban đầu, thì đa được hình vuông. Như vậy, mọi hình đều cắt ghép được thành hình vuông.

5) Đối với hai hình bất kỳ cùng diện tích: đầu tiên cắt ghép hình thứ nhất thành hình vuông, rồi cắt ghép tiếp tục hình vuông thành hình thứ hai.

Print Friendly
 

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree