Các bài giảng về toán cho Mirella (5)

 

(Bài giảng này từ lâu rồi, nhưng đây là một bài toán “kinh điển” và thú vị bất ngờ với cả người lớn nên hôm nay ghi lại)

Bài toán về các con kiến

Con kiến mà leo cành đa

Leo phải cành cụt leo ra leo vào …

Trong một lần đi chơi cùng Mirella và 3 anh của Mirella (1 anh ruột 2 anh họ), tôi có đem một bài toán con kiến sau ra đố rồi giảng về toán. Có điều, các con kiến sẽ không “leo ra leo vào” mà rơi tõm xuống đất khi leo ra đến chỗ cụt. Bài toán như sau:

Giả sử có 1 cái thanh nằm ngang (cứ hình dung một thành ban công cũng được). Một con kiến nếu đi từ đầu này đến đầu kia thì mất đúng 2 phút, và nếu đi ra đến 1 trong 2 đầu thì nó rơi xuống đất. Bây giờ giả sử có 10 con kiến trên thanh ngang và đi với cùng tốc độ như vậy, nhưng về các hướng khác nhau. Nếu có hai còn nào đi ngược hướng đến cùng 1 vị trí trên thanh ngang thì chúng đập đầu vào nhau và quay ngược lại đi tiếp với vận tốc như cũ. Hỏi rằng sau bao nhiêu thời gian thì chắc chắn rằng cả 10 con kiến sẽ cùng rơi xuống đất ?

Ghi chú:  Giả thuyết tự hiểu ở đây là các con kiến là có độ dài không đáng kể (nhỏ như là các điểm), và khi chúng đụng đầu nhau và quay ngược lại thì quá trình quay đầu đó cũng không mất thời gian gì cả. Thời gian hỏi trong bài là thời gian để cho cả 10 con kiến đều rơi xuống trong trường hợp “tồi” nhất, tức là trường hợp tốn nhiều thời gian nhất, còn tất nhiên trường hợp “tốt” khỉ cả 10 con đều ở sát 1 đầu và cùng đi về phía đầu đó, thì sẽ hầu như không tốn tý thời gian nào để cả 10 con cùng rơi xuống đất.

Bài toán này là do một bạn đồng nghiệp của tôi đem ra đố trong một buổi ăn trưa. Lúc đó tôi cũng không tìm lời giải mà được anh bạn đông nghiệp giải cho. Sau đó tôi đã đem đi đố nhiều người, mà mới chỉ có 1 người (là một bạn nữ có trong đội tuyển thi toán quốc tế của VN cách đây mấy năm)  tìm ra lời giải mà không cần gợi ý. Nhưng thực ra, nếu tìm ra đúng cách thì lời giải rất dễ, học sinh lớp 1 cũng có thể hiểu được ! Bạn đọc thử nghĩ ít nhất 20 phút xem (2 phút cho mỗi con kiến :D), trước khi đọc lời giải viết phía dưới đây !

Nếu bạn đọc đã nghĩ ra hoặc xem lời giải rồi, thì thử làm tiếp 2 câu hỏi sau:

Câu hỏi 2: 10 con kiến đó có thể đụng đầu nhau nhiều nhất là bao nhiêu lần trước khi tất cả rơi xuống ?

Câu hỏi 3: Một con kiến (trong số 10 con đó) thì có thể đụng đầu vào các con khác nhiều nhất là bao nhiêu lần trước khi rơi xuống ?.

Sau khi tôi tra lại sách vở, thấy bài toán đố này khá “kinh điển”: nó đã được viết trong một quyển sách phổ biến toán học của Ian Stewart (?), nhưng cũng không chắc là do ông này nghĩ ra.

Giải bài toán con kiến

Ai đã biết lời giải, thì sẽ thấy lời giải hiển nhiên. Nhưng khi chưa biết, thì làm thế nào để tìm lời giải ?

Thứ nhất là có thể kiểm tra nhanh một cái, rằng các con kiến thể nào cũng sẽ rơi xuống hết thật, chứ không bị mắc lại trên cành mãi vì cứ đi đâm đầu vào nhau. Thật vậy, xét con kiến ở phía ngoài cùng bên phải. Nếu nó đi về phía bên phải, thì sẽ không đâm đầu vào con nào và cứ thế là rơi xuống. Nếu nó đi về phía bên trái rồi chẳng may đụng đầu, thì nó quay lại đi về phía bên phải, và khi đó nó vẫn ở ngoài cùng bên phải nên sẽ rơi xuống mà không đụng đầu thêm con nào. Theo qui nạp, thì tất cả các con sẽ đều rơi xuống.

Thứ hai là đến “đoán mò” ước lượng thời gian. Nếu như một con (con ngoài cùng bên phải) đi mất không quá 2 phút chẳng hạn, thì theo qui nạp n con sẽ không quá 2n phút. Thế nhưng 2n có phải là đáp án không, hay là chúng cần ít thời gian hơn để tất cả cùng rơi.

Thứ ba là nếu ta làm trường hợp tổng quát n con (trong bài toán ghi phía trên n=10) khó quá, thì đầu tiên ta thử tìm lời giải cho các trường hợp n nhỏ đã, rồi tìm cách tổng quát hóa lên sau. Vậy nếu chỉ có 2 con (n=2) hoặc 3 con (n=3)  thì sao ?

Dễ thấy, khi n=2 thì chỉ có cùng lắm là 1 lần đụng đầu. Nếu không đụng đầu thì sau 2 phút chắc chắn cả hai con đều rơi, theo giải thuyết ban đầu về việc toàn bộ đường dài đi mất 2 phút. Nếu có đụng đầu thì sao ? Giả sử đụng đầu sau thời gian t, và điểm đụng đầu cách đầu bên phải là a và cách đầu bên trái à b. (a và b đo bằng thời gian để đi tính theo phút: tức là nếu con kiến đi điểm đó đến đầu bên trái mà không bị vướng con nào thì đi mất a phút). Khi đó a+b = 2 (độ dài của thanh ngang). Ngoài ra phải có a \geq t (vì con kiến đi từ bên trái đi mất t thời gian cho đến thời điểm đụng đầu, được một đoạn đường nằm trong đoạn từ đầu bên trái đến điểm đụng đầu). Con kiến bên phải sẽ rơi xuống sau tổng thời gian là t+b. Nhưng vì t \leq a nên t+b \leq a+b =2. Như vậy con bên phải rơi xuống sau không quá 2 phút. Tương tự như vậy với con bên trái. Có nhận xét gì ở đây ? Khi có 2 con kiến, vẫn chỉ mất có 2 phút, chứ không phải là 2×2 = 4 phút!

Khi n=3 thì sao ? Có khá nhiều trường hợp hơn so với n=2. Bạn đọc thử viết tỷ mỉ ra rồi tính toàn bộ các trường hợp xem. Kết quả cuối cùng là gì ? Là 3 phút hay 4 phút? Nếu tìm ra là 3 phút hay 4 phút thì lời giải bị sai :D Lời giải đúng là: cũng chỉ cần 2 phút khi có 3 con!

Thứ tư là khi ta đã có đáp số cho các trường hợp n=1,n=2,n=3, thì ta dựa vào đó để đoán trường hợp tổng quát. Vì n=1,2,3 đều cho ra kết quả là 2 phút, nên đoán là trường hợp tổng quát cũng chỉ có 2 phút ! Có ngạc nhiên không ? Bản thân tôi lần đầu khi thấy vậy rất ngạc nhiên, vì cứ hình dung các con kiến đập đầu vào nhau quay đi quay lại nhiều lần sẽ phải tốn nhiều thời gian đi vòng vo trước khi rơi xuống !

Thứ năm là, sau khi có giả thuyết (chỉ cần thời gian 2 phút) rồi, làm sao chứng minh đây. Bạn đọc đã được gợi ý cho đáp số rồi, hãy tìm cách chứng minh nó thật lâu đi trước khi “đầu hàng” đọc lời giải tiếp dưới đây :D

 Mấu chốt của lời giải

Điểm mấu chốt của lời giải là: nếu có một người quan sát “nhìn từ xa”, không phân biệt  các con kiến với nhau, thì việc chúng quay đầu đi ngược lại cũng không khác gì việc chúng cứ thế đi tiếp: nếu chẳng hạn con kiến A đụng đầu con kiến B rồi đi ngược lại, thì cũng cứ như là A cứ đi tiếp và B cứ đi tiếp nhưng “đổi tên” hay “đánh tráo” chúng cho nhau thôi. Nếu chỉ nhìn tổng thế chứ không phân biệt các con kiến, thì việc có quay đầu lại hay không vẫn thế. Và tất nhiên, nếu không cần quay đầu lại, thì thời gian tối đa cần thiết để chúng rơi xuống hết là 2 phút.

Suy luận như trên chính là một điểm rất quan trọng trong tư duy toán học: Nhìn thấy sự giống nhau trong các vấn đề khác nhau! Đấy cũng là một thể hiện của tính đối xứng của tự nhiên.

 Bao nhiêu lần đụng đầu ?

Để trả lời câu hỏi 2, nhận xét rằng số lần đụng đầu cũng bằng số lần đi qua nhau nếu ta coi các con kiến cứ đi tiếp mà không quay đầu. Con số này nhiều nhất nếu mọi con đi về hướng bên phải đều đi qua mọi con đi về phía bên trái. Khi đó số lần đụng đầu là a nhân b, trong đó a là số kiến đi về phía bên phái, b là số kiến đi về phía bên trái, a+b =10. Cực đại đạt được khi a=b= 5, tức là nhiều nhất có 25 lần đụng đầu.

Thế còn một con kiến thì đụng đầu nhiều nhất được bao nhiêu lần ? Đáp số là 9. Hãy tự tìm lời giải! Xem hình minh họa trường hợp đụng đầu 9 lần phía dưới

Thế còn một cặp 2 con thì có thể đụng đầu nhau cùng lắm là bao nhiêu lần ?

Print Friendly
 

1 comment to Các bài giảng về toán cho Mirella (5)

  • LNMT MonsterID Icon LNMT

    Em chắc dạng đoán siêu rùa vì mới đọc xong câu hỏi thì em đã trả lời ngay 2 phút rồi ạh. Bởi em nghĩ đằng nào nó cũng đi hết quãng đường đấy. Sau đấy suy nghĩ kỹ hơn 1 tí, chia ra 5 con trái 5 con phải, ban đầu cho tất cả đứng sát nhau ở mỗi biên với độ dài bằng 1/4 toàn bộ quãng đường. Đi đến giữa 2 bên đụng nhau rồi tất cả cũng gần như quay đầu lại hết. Nếu tính kỹ thì việc quay đầu đấy đối với 2 con trong cùng mỗi phía sẽ đi hết đúng quãng đường nó đã được đặt ở trên thước ban đầu :D

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree