Các bài giảng về toán cho Mirella (4)

 

(Đây là một bài giảng từ cách đây nhiều hôm rồi, nhưng hôm nay mới nhớ viết lại)

Bài toán của công chúa Dido

(Hình: một bức tranh vẽ thành phố Carthage thời xưa)

Công chúa Dido (còn gọi là nữ hoàng Dido, và còn có tên là công chúa Elissar hay Alyssa) là người sáng lập ra thành phố Carthage (một thành phố ven biển Địa Trung Hải, ngày nay là một vùng ngoại ô của thành phố Tunis ở nước Tunisia) từ thời cách đây 3000 năm, tức quãng 1000 năm trước công nguyên. Theo lich sử, công chúa Dido là công chúa ở xứ Tyre (ngày nay là Liban), thuộc một vương quốc rộng lớn ở Địa Trung Hải ngày xưa gọi là Phoenicia. Vua Pygmalion xứ Tyre là anh trai của Dido, nhưng đã giết chồng của Dido để nhằm chiếm tài sản. Dido mới cùng với một đoàn người chạy tỵ nạn khỏi xứ Tyre sang vùng Carthage và lập nên một thành phố mới ở đó.

Theo truyền thuyết, khi chạy tỵ nạn đến Carthage, Dido xin vua xứ đó (gọi là vua của dân tộc Berber, là một dân tộc ở Bắc Phi) một mảnh đất nhỏ để ở tạm. Ông vua đồng ý cho Dido một mảnh đất có thể khoanh vùng lại được bằng một tấm da trâu. Dido và những người của mình cắt một tấm da trâu ra thành một dải dây da rất dài. Sau khi đã có dải dây da trâu, bài toán của Dido là:

Với một dải dây đã có, làm sao khoanh được một vùng đất to nhất ở cạnh biển ?

Chú ý là nếu vùng đất chạm biển thì không cần phải khoanh dây biên giới cả ở ngoài biến, chỉ cần khoanh biên giới cho đến những chỗ giáp biển thôi. Bài toán này có thêm giả thuyết là, bờ biển thẳng và rất dài, dài hơn nhiều so với dải đây da trâu của Dido.

Papa đố Mirella giải bài toán của công chúa Dido. Mirella liến đưa ra câu trả lời: “Khoanh  dây lại thành hình tròn, vì hình tròn là hình to nhất trong các hình cùng chu vi”.

Nếu là trong đất liền thì đây là lời giải đúng. Nhưng vì ở sát biển, có thể tận dụng bờ biển mà không cần khoanh dây chỗ đó, nên lời giải không đúng nữa. Chẳng hạn, ta có thể dịch đường tròn ra sao cho tiếp xúc với biển. Sau đó, ta kéo cái cung 1/4 vòng tròn có 1 đầu giáp biển, từ đầu kia của cung ra thành một đường thẳng vuông góc với biển, thì vừa có được thêm đất mà vừa tiết kiệm được dây. Xem Hình 1 trên tờ hình vẽ đính kèm.

Mirella đưa ra ý tưởng khác: “Làm một hình vuông một cạnh giáp biển”.

Mirella tự nghĩ ra rằng đây chưa phải là cách tốt nhất, bằng một phương pháp mà có lần papa đã chỉ cho Mirella: Cắt 1 góc hình vuông đó (góc mà không chạm biển) theo 1 tam giác không cân, xoay ngược tam giác đó lại sao cho cạnh huyền vẫn ở vị trí cũ, chỉ có 2 cạnh góc vuông là chuyển chỗ thôi. Khi đó được 1 hình khác cùng diện tích và chu vi với hình vuông, nhưng mà là hình lõm. Mà hình lõm thì không thể là có diện tích to nhất được, vì chỉ cần “kéo căng dây ra” lấp đầy chỗ lõm cho thành lồi thì là vừa tăng được diện tích vừa đỡ tốn dây. Xem Hình 2.

Cũng theo lý luận trên, các hình “có góc cạnh” (trừ góc tại điểm tiếp xúc với biển) đều không phải là hình tốt nhất được, mà nó phải là một đường cong không gẫy khúc may ra mới tốt nhất được.

Mirella liền đưa ra giải pháp: “Thế thì lấy một cung tròn”.

Nhưng cung tròn nào? Có nhiều cung tròn khác nhau cùng độ dài: cung tròn “bẹt”, cung tròn “hơi bẹt” (nhỏ hơn 1/2 đường tròn, tức là góc tạo bởi cung tròn tính từ tâm hình tròn nhỏ hơn 180 độ), 1/2 đường tròn, và cung tròn to hơn 1/2 đường tròn.

Mirella đoán: “Lấy 1/2 đường tròn là tốt nhất”

Papa hỏi: thế tại sao hơn 1/2 đường tròn thì không tốt ? Mirella nhận xét là, nếu hơn 1/2 đường tròn, thì tình huống cũng tương tự như là cả đường tròn vậy: chỗ giáp với biển bị “hụt vào”, chỉ cần kéo dây vuông góc ra với biển ở gần chỗ đõ là vừa thêm được đất vừa tiết kiệm được dây.

“Thế tại sao cung tròn bẹt thì không tốt ?” Mirella cười phá lên “bẹt thì lấy đâu ra đất”. Papa hỏi “nhưng chỉ hơi bẹt một tý thôi, vẫn có nhiều đất, có thể nhiều hơn so với 1/2 vòng tròn thì sao ?”

Đến đây thì Mirella không nghĩ ra câu trả lời. Câu chuyện tạm dừng lúc đó, đến buổi tối mới tiếp tục.

Buổi tối, papa giải thích cho Mirella vì sao nửa đường tròn là tốt nhất: So sánh một phương án bất kỳ nào khác với phương án nửa đường tròn có cùng độ dại. Lấy đối xứng qua đường biển thì được 1 hình có diện tích to gấp đôi, và chu vi cũng bằng 2 lần chiều dài của dây. So sánh phương án đã nhân gấp đôi đó với phương án nửa hình tròn nhân đôi, tức là hình tròn. Vì cùng chu vi, nên phương án khác nửa đường tròn khi nhân đôi có diện tích nhỏ hơn là  nửa hình tròn nhân đôi (nếu ta chấp nhận là hình tròn là hình có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu vi), do đó phương án khác nửa đường tròn thì có diện tích nhỏ hơn là phương án nửa đường tròn. Xem Hình 3.

“Hóa ra dễ quá!”, Mirella nhận xét, “thế nhưng chứng minh hình tròn là hình có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu vi như thế nào ?”. Mirella có từng được nghe nói đến điều đó, cũng từng được papa bầy cách thay đổi một hình sao cho chu vi không tăng lên mà diện tích tăng lên, nhưng vẫn chưa biết chứng minh hình tròn là hình tốt nhất như thế nào.

Vì sao hình tròn có diện tích to nhất ?

Lần này, papa chỉ cho Mirella một cách chứng minh.

Ta sẽ chấp nhận mà không chứng minh, rằng tồn tại hình có diện tích lớn nhất trong các hình có cùng chu vi. Ở đây ta sẽ chỉ chứng minh rằng, một hình lớn nhất như vậy bắt buộc phải là hình tròn. Để chứng minh điều này, ta xem hình có diện tích lớn nhất, thì phải có các tính chất  gì ?

1) Tính chất lồi là hiển nhiên rồi (nếu không lồi, thì “lấp cho nó thành lồi”, hay nói theo ngôn ngữ toán học là lấy bao lồi của nó, thì chu vi giảm đi mà diện tích tăng lên)

2) Tính chất không gẫy khúc nữa: nếu bị gẫy khúc ở bất cứ điểm nào, thì làm tương tự như với hình vuông phía trên, sẽ làm tăng được diện tích của hình lên. Tính chất không gãy khúc này có nghĩa là, tại mỗi điểm có đúng 1 đường thẳng đi qua điểm đó mà tiếp xúc với hình, tức là đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 phần trong đó 1 phần chứa toàn bộ hình.

3) Tính chất thứ 3 là  “tính chất góc cắt đều”: Lấy hai điểm khác nhau bất kỳ trên hình. Khi đó hai góc của đường đó với hai đường tiếp xúc tại hai điểm tương ứng là bằng nhau. Xem Hình 4. Chứng minh cũng hệt như là chứng minh phía trên cho chuyện hình vuông không phải hình tốt nhất vậy: nếu hai góc đó khác nhau, thì bằng cách lật ngược 1 trong 2 mảnh của hình lại (mà vẫn giữ nguyên đáy) thì được 1 hình cùng chu vi, cùng diện tích nhưng có chỗ bị lõm, do đó nó không phải là hình có diện tích to nhất.

Bây giờ ta sẽ chứng minh điều sau: Nếu một hình trên mặt phẳng thỏa mãn cả 3 tính chất trên, thì nó là hình tròn.

Papa trình bày tỷ mỉ chứng minh cho Mirella. Nhưng viết lại đây chỉ vắn tắt thôi. Các bạn học sinh nên thử tự làm bài tập này trước khi xem lời giải sau:

Lấy 3 điểm A, B, C trên hình. Kẻ các đường tiếp xúc đi qua A,B, C, cắt nhau thành một tam giác PQR (P đối diện với A, Q đối diện với B, R đối diện với C). Từ tính chất 3 suy ra RA=RB, QA=QC, PB=PC, suy ra RA = (RP+RQ-PQ)/2, v.v.. Từ đó suy ra A,B,C chính là các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp của tam giác PQR với các cạnh, vì các điểm đó cũng thỏa mãn các đẳng thức này. Gọi O là tâm của đường tròn nội tiếp này, ta có OA vuông góc với QR tức là đường tiếp xúc đi qua A, OB vuông góc với đường tiếp xúc đi qua B. Do đó O không phụ thuộc vào C. Tức là thay C bằng 1điểm D bấtkỳ khác của hình, ta vẫn có điểm O đó, và có OD = OA = OB. Có nghĩa là đây là hình tròn với tâm là O.

Như vậy, ta đã chứng minh được hình có diện tích lớn nhất là hình tròn, bởi vì nó phải có 3 tính chất trên, và mọi hình có 3 tính chất trên đều là hình tròn!

Đố vui “nát óc”:

Nếu bây giờ giả sử công chúa Dido không phải đến một chỗ có bãi biển thẳng băng, mà là đến 1 vịnh có biển hình một góc vuông (3/4 là đất chỉ có 1/4 là biển), thì công chúa Dido sẽ khoanh vùng đất của mình thế nào cho được nhiều nhất ?

 

Print Friendly
 

10 comments to Các bài giảng về toán cho Mirella (4)

  • Ali MonsterID Icon Ali

    Chắc là mảnh đất có dạng 1/4 hình tròn là diện tích lớn nhất. Mặc dù chưa tính thử. :D

  • abc MonsterID Icon abc

    Có một sự “đối ngẫu” giữa lớn nhất và nhỏ nhất, trong trường hợp này là lớn nhất về diện tích và nhỏ nhất về độ dài.Thực chất của bài toán này cũng là bài toán biến phân với cực tri vướng.Nhưng để “chơi được” với mọi người,góc của bài toán thường chọn là ước số của 360 độ, hay mạnh hơn một chút nữa là tỉ số là một số hữu tỉ.

    Có thể nói bài này cũng là hệ quả của bài chia đất http://zung.zetamu.net/2012/08/bai-toan-chia-d%E1%BA%A5t/comment-page-1/#comment-66887

    Lấy đỉnh góc vuông làm tâm vẽ vòng tròn bán kính R=2L/3Pi , Pi=3,1416…
    Trong trường hợp tổng quát( góc ở vùng đất liền là A) hãy vẽ vòng tròn bán kính L/A
    (L là độ dài đoạn dây của (em bé)) :-) .

  • Ali MonsterID Icon Ali

    A hình như nhầm vì không đọc kỹ. Hóa ra biển ăn vào đất liền 1 góc vuông.

  • admin MonsterID Icon admin

    abc

    Khi biển là một góc vuông, thì phương án tối ưu không lấy đỉnh góc vuông đó làm tâm đâu :D

  • abc MonsterID Icon abc

    Ồ thật tệ,tôi bị rơi vào cái bẫy của cái đẹp (thực ra là hời hợt).Tôi đoán là cung tròn tâm nằm trên đường phân giác của góc vuông mà độ dài cung lớn bằng L, (sẽ kiểm tra sau,cuối tuần phải đi cái đã :-) )

  • Trung T Nguyen MonsterID Icon Trung T Nguyen

    Ở VN thì tối ưu nhất là khoanh dọc hai bờ biển. Bờ biển có sổ đỏ rồi thì ta thuê dân chở rác hay xe ben chở đất thi công ra lấp thêm bao nhiêu biển chả được!

  • admin MonsterID Icon admin

    Lấp biển không ngon ăn đâu. Nước Monaco tìm cách lấp biển mãi, mà vẫn chỉ được vẻn vẹn có 2km vuông. Mua đất có khi còn rẻ hơn :D

  • abc MonsterID Icon abc

    Nếu một dây có 2 đầu mút cố định nó sẽ bao diện tích lớn nhất khi dây đó là cung cong của đường tròn đi qua 2 điểm đó,thành ra có vô số cách bao để có diện tích lớn nhất: chính là nửa hình tròn bán kính L/Pi mà đường kính (chỉ) nằm trên một cạnh góc vuông !

  • abc MonsterID Icon abc

    Khó hơn chăng nếu cái bờ vịnh ăn sâu và đất liền không còn thẳng mà là cong, chẳng hạn đường parabol: y=x*x ?

  • Phương pháp sư phạm của papa tốt thật, đọc loạt bài này lại hình dung đến quyển What is Mathematics?

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree