Các bài giảng về toán cho Mirella (3bis)

 

Đường võng (catenary)

Đây là phần nối tiếp của bài giảng thứ 3, nhưng tách ra làm một buổi riêng.

Trong phần này ta sẽ tính các khúc đường võng ngược cho bánh xe hình vuông. Ta sẽ coi độ dài của cạnh hình vuông là bằng 2. Ta sẽ giả sử là hình vuông lăn mà không trượt trên đường. Như vậy độ dài đoạn đường võng cũng phải bằng độ dài cạnh hình vuông, tức là bằng 2. (Mirella cũng tự nhận xét ra ngay điều này).

Khi hình vuông lăn đến điểm nằng ngang (tức là cạnh tiếp xúc với đường đi nằm ngang so với mặt đất), thì điểm tiếp xúc là điểm cao nhất của đường võng ngược. Trọng tâm của hình vuông khi hình vuông nằm ngang cũng phải nằm thẳng phía trên của điểm tiếp xúc, bởi vì nếu chẳng hạn trọng tâm lệch về phía bên phải so với điểm tiếp xúc, thì khi hình vuông lăn săng bên phải trọng tâm sẽ hạ thấp xuống chứ không giữa nguyên độ cao. Xem Hình a trên hình vẽ đính kèm.

Bây giờ ta lăn hình vuông ra khỏi vị trí nằm ngang đến một vị trí mới. Xem Hình b. Ta sẽ ký hiệu chênh lệch về tọa độ ngang giữa điểm tiếp xúc này với điểm tiếp xúc nằm ngang (điểm cao nhất của hình võng) là t, và chênh lệch chiều cao giữa trọng tâm của hình vuông với điểm tiếp xúc này bằng z, góc tạo bởi đáy hình vuông với đường nằm ngang là a, và khoảng cách giữa điểm tiếp xúc mới với điểm giữa của đáy hình xuông là x. Đại lượng x cũng chính bằng chiều dài của đoạn đường võng tính từ điểm cao nhất của nó đến điểm tiếp xúc mới này.

Ta sẽ coi các đại lượng z,x,a như là các hàm số của t. Khi đó ta có được các phương trình sau biểu thị quan hệ giữa chúng:

(1) z = \cos a + x . \sin a

(2) x' = 1/ \cos a

(3) z' = \tan a

Dấu phẩy ở phía trên có nghĩa là đạo hàm theo t.

(Mirella vẫn chưa quen khái niệm đạo hàm tuy papa đã từng dạy, nên trong buổi này phải dành khá nhiều thời gian giải thích lại đạo hàm có nghĩa là gì).

Từ 3 phương trình trên, ta sẽ tìm cách biến đổi để đưa về phương trình đơn giản từ đó có thể tính được các đại lượng theo t, đặc biệt là đại lượng z. Vì nếu biết hàm z theo t, tức là biết dạng của đường võng.

Lấy đạo hàm của phương trình (1) theo t, ta được:

(4) z' = - \sin a . a' + x' . \sin a + x . \cos a. a'

(Phải giải thích cho Mirella phép lấy đạo hàm của một hàm hợp, và công thức Leibniz nữa !)

Thay z' = \tan ax' = 1/\cos a vào (4), ta được:

(5) x . \cos a . a' = \sin a . a'

Ở đây ta giả sử a không phải là hằng số theo t (tức là khúc đường võng là đường cong chứ không thẳng ra chỗ nào cả), thì có thể chia hai vế của (5) cho a'. \cos a và được:

(6) x = \tan a, và có nghĩa là

(7) z' = x theo (3)

Thay x = \tan a vào phương trình (1), ta được

(8) z = 1/ \cos a, và có nghĩa là

(9) x' = z theo (2)

Kết hợp (7) và (9) ta được phương trình bậc 2 sau của z:

(10) z'' = z

Phương trình (10) là một phương trình tuyến tính bậc 2 quen thuộc, với nghiệm tổng quát là

z = C e^t + D e^{-t} với C,D là hai hằng số

(Phải làm cho Mirella 1 bài giảng về nghiệm phương trình (10) ở đây!)

Với điều kiện ban đầu z(0) = 1, z'(0) = 0, ta tính được C= D = 1/2, có nghĩa là

z= 1/2 (e^t + e^{-t}) = \cosh t

Điều đó có nghĩa là, hình võng ngược làm đường đi cho bánh xe vuông chính là đồ thị lật ngược của hàm số cosh (hyperbolic cosine) ! Hình đồ thị của hàm cosh cũng chính là hình tạo bởi các đường dây cáp hay hay dây xích treo trũng xuống, nên gọi là đường võng, hay đường xây xích (catenary: gốc latin, catenarius có nghĩa là một dây mắt xích).

 

Print Friendly
 

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree