Các bài giảng về toán cho Mirella (3)

 

Cho bài giảng lần này, papa đi tìm từ internet về một đề tài nghe qua có vẻ phi lý, đó là:

Những bánh xe hình vuông !

Ai mà chẳng biết bánh xe phải có hình tròn. Méo tẹo thôi là có vấn đề rồi. Trong ngôn ngữ phương Tây, cụm từ “bánh xe hình vuông” (square wheels) được dùng để chế diễu những người hậu đậu hay không biết cưa gái, những cái không chạy được, hay là những hệ thống tổ chức quá kém, cũng “không chạy được”. Xem hình minh họa bên phải do một họa sĩ vườn vừa nặn ra.

Papa nói với Mirella: “bây giờ ta xem những cái xe có bánh vuông chạy thế nào nhé”. Mirella cười phá lên “bánh xe hình vuông thì làm sao mà chạy được”. “Chạy được đấy, xem đây này”. “Nó chỉ xoay được một cái rồi nằm bẹp ra thôi chứ làm sao chạy được tiếp”. “Thế mà vẫn có thể chạy được đấy, mà không bị nằm bẹp”. Bí quyết nằm ở chỗ có đường thích hợp !

Khi papa giải thích cho Mirella là, nếu có đường nhô lên nhô xuống thích hợp, sao cho khi bánh xe hình vuông lăn ngang ra thì không bị nằm bẹp mà vẫn lăn được tiếp, là Mirella tin ngay. Còn ai vẫn chưa tin, thì có thể xem video sau trên youtube, trong đó có mấy đứa trẻ đạp xem bánh vuông trên một “sân chơi” được làm riêng cho loại xe bánh vuông:


Trọng tâm không lên xuống

Tại sao các bánh xe bình thường lại có hình tròn chứ không phải hình khác ? Có hai lý do. Thứ nhất là làm sao để tại mỗi thời điểm chỉ chạm vào đất ít thôi, cho đỡ tốn năng lượng vì ma sát. Tính chất này chưa đủ, vì chẳng hạn hình oval không lấy làm hình bánh xe được. Còn tính chất khác cũng đặc biệt quan trọng, đó là: làm sao để độ cao của trọng tâm (hay của trục bánh xe) không thay đổi.

Nếu trọng tâm thay đổi, lúc lên lúc xuống, thì lúc xuống không sao, chứ lúc lên sẽ rất tốn nhiều năng lượng, vì như là cần có lực để nâng xe lên trong lúc đi. Hình dung 1 cái xe ô tô nặng hơn 1 tấn đã tắt máy, trên đường bằng thì 1 người có thể đẩy đít nó đi được, còn nếu dốc lên trên dù chỉ một ít thôi cũng không thể đẩy nối. Không kể đến đoạn nếu độ cao của trọng tâm bị nhảy lên nhảy xuống nhanh quá (ví dụ như khi đi với tốc độ nhanh trên đường làm tồi), thì sẽ sẽ bị nẩy, sóc long sòng sọc.

(Ảnh lấy từ wikipedia: một chuỗi mắt xích võng xuống một cách tự nhiên thành hình võng catenary)

Để cho xe bánh vuông lăn được, cần làm đường sao cho trọng tâm của hình vuông giữ độ cao không đổi khi lăn trên đường đó. Đường như vậy sẽ gồm những khúc uốn cong lên trên nối liền với nhau; độ dài đường cong (chứ không phải trên mặt đất) của mỗi khúc cong như vậy chính bằng độ dài một cạnh của cái bánh xe hình vuông, và các khúc cong này có hình dạng toán học gọi là catenary (tiếng Việt: đường võng, đường dây chuyền, đường xây xích). Sở dĩ nó được gọi như vậy, là vì nếu ta lấy 1 cái dây cáp, treo nó trong không gian và cố định 2 đầu của nó, thì tự nó sẽ võng xuống thành đường catenary (trông nó giống đường parabol, nhưng không phải là parabol). Các khúc đường cho xe bánh vuông chính là các khúc đường võng như vậy nhưng lộn ngược lên trên.

Việc thiết lập phương trình của đường võng ngược cho bánh xe hình vuộng chạy là việc tốn khá nhiều thời giờ, sẽ cần thêm 1 buổi giảng riêng (xem Bài giảng 3bis tiếp theo). Ở đây ta chỉ thảo luận các tính chất hình học một cách trực giác thôi.

Các bánh xe kiểu khác ?

(Hình: bánh xe hình bông hoa, chạy trên đường hình răng cưa)

Với nguyên tắc “bánh xe nào, đường đó” như vậy, có thể có các bánh kiểu khác cũng chạy được không ? Tất nhiên là có.

Bánh xe chữ nhật thì sao ? Mirella nghĩ ra ngay, khi đó đường sẽ gồm 1 khúc võng (lộn ngược) nhỏ tiếp đến 1 khúc võng to rồi đến 1 khúc võng nhỏ và cứ thế

Bánh xe hình ngũ giác, lục giác đều, v.v. ? Cũng tương tự như là đối với bánh xe hình vuông vậy. Kể cả bánh xe hình bông hoa cũng chạy được tốt trên đường thích hợp ! Xem hình vẽ minh họa bên cạnh.

Tuy nhiên, nếu bánh xe là tam giác đều thì không làm được đường như ý, vì góc của tam giác đều “nhọn quá”, có lúc đâm cả vào đường :D

Đá vuông xây kim tự tháp

Bánh xe hình vuông dùng để làm gì ? Tất nhiên là không dùng trên đường bình thường được. Nhưng trong máy móc công nghiệp có thể cần dùng đến những thứ chạy kiểu như vậy.

Gần đây, một số nhà sử học cho rằng có lẽ là các bánh xe hình vuông đã được dùng trong việc xây các kim tự tháp ở Ai cập.

Chúng được dùng như thế nào? Nghe câu truyện tiếu lâm sau rồi đoán nhé: Có một anh lái xe tải rất hay lái xe đi qua 1 cửa biên giới. Viên hải quan ở đó rất nghi ngờ, khám xét liên tục nhưng không lần nào tìm thấy gì. Khi cả hai đã về hưu, tình cờ đi chơi gặp nhau, viên cựu hải quan hỏi “hồi trước ông buôn lậu gì thế?” Người cựu lái xe trả lời: “buôn lậu xe tải”.

Ở kim tự tháp ở Ai Cập các tảng đá nặng hơn 2 tấn là chuyện bình thường, cá biệt có những tảng nặng mười mấy tấn, thậm chí có tảng nặng mấy chục tấn. Thật kinh ngạc là, với công nghệ rất thô sơ thời đó, học vẫn có thể vận chuyển rồi lắp đặt các tảng đá khổng lồ như vậy vào với nhau.

Theo giả thuyết gần đây (?), nhiều tảng đá vuông to tướng nặng hàng tấn dùng để xây kim tự tháp ở Ai Cập được biến thành bánh xe để vận chuyển … bản thân chúng, bằng cách lăn chúng đi! Nghe đến đây, Mirella, vốn “nổi tiếng” là ngang, không chịu: “có các cách khác vận chuyển tốt hơn! Như là dùng xe ngựa kéo, hay chở đá bằng thuyền trên sông, hay dùng cách thân cây gỗ lót phía dưới và đẩy đá phía trên. Ngoài ra còn có cách vác trên lưng chạy cho nhanh nữa :D”

Bỏ qua các cách cố tình nói sai như là vác tảng đá cả tấn trên lưng, thì các cách khác mà Mirella nói có được viết trong các tài liệu, chắc là Mirella xem xong còn nhớ. Tuy nhiên, chở bằng đường sông thì chỉ đến gần kim tự tháp chứ chưa đến hẳn. Đẩy lăn trên gỗ cũng là 1 cách, nhưng nếu không tròn hẳn hay đường không phẳng mà gồ ghề thì cũng rất khó nhọc. Các xe ngựa kéo (với bánh tròn) thời đó nếu có thì cũng có bánh xe kém hơn thời nay nhiều, rất nặng nề và có ma sát rất lớn, không phải “ngon ăn”.

So với phương pháp ngựa kéo, và phương pháp lăn trên gỗ, thì phương pháp lăn bánh đá vuông xem ra cũng là phương pháp khả dĩ. Chỉ cần làm 3 cái hình võng ngược hợp với kích thước của đá, rồi cho 2-3 cu li lăn mỗi tảng đá: 1-2 người đẩy tảng đá vuông và một người xếp các hình võng ngược trên đường lăn của tảng đá để giữ sao cho tảng đá không bị thay đổi độ cao của trọng tâm trong quá trình lăn (tảng đá cứ đi qua hình võng nào thì lại bên nó đặt lên phía trước), thế là có thể lăn đá với tốc độ nhanh gần như là đi bộ mà không quá mệt. Trên thực tế, thì hình võng ngược, tuy không phải là hình cung tròn hay hình parabol, nhưng khá giống cung tròn. Chỉ cần làm các hình võng ngược dạng cung tròn cũng đủ để lăn đá vuông :-)

Xem tiếp bài giảng 3bis ở đây.

(Ảnh: một xe ba bánh vuông do nhà toán học Stan Wagon làm. Ảnh do I. Peterson chụp)

Print Friendly
 

5 comments to Các bài giảng về toán cho Mirella (3)

  • Ali MonsterID Icon Ali

    Cái này có vẻ gần với vật lý hơn toán nhỉ?

  • Mèo MonsterID Icon Mèo

    Những chuyện này em chưa bao giờ biết. Thú vị thật đấy :D.

  • hong van MonsterID Icon hong van

    @Zung: Mirella khong noi ngang dau, Alex cung duoc day trong truong nhu vay day.

  • hhhuuu MonsterID Icon hhhuuu

    Rất rất rất thú vị! Xin cảm ơn bài viết!

    Đọc xong cái này tự nhiên nghĩ đến câu chuyện sau:
    - Nhà vua một xứ cằn cỗi ra một quyết định tạo ra con đường lót da thú để mọi người được đi êm chân. Thật là khó khăn vì không thể tìm đủ da thú, gắn kết lại và bảo trì đòi hỏi sức lao động quá lớn. Nhà hiền triết của vua nói: tại sao ta không làm đường cho mỗi bàn chân thôi? Thế là ý tưởng được áp dụng và … giày ra đời!

    Nghĩa là: ta mang “giày” cho khối đá sẽ đơn giản và nhanh hơn là cứ tạo đường để đấy nó đi. Cột tấm ghép cho nó thành hình trụ và lăn, như vậy tốt hơn là phải đem mấy tấm ghép vừa đẩy vừa lót tới.

    Vài lời mạo muội :-)

  • Cái loại bánh xe này thật hay. Và có cả chương trình đơn giản để thử nghiệm nó nữa: http://en.smath.info/forum/yaf_postsm7626_A-simple-animation.aspx#post7626

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree