Các bài giảng về toán cho Mirella (2)

 

Các đa giác và các đối xứng

(Ảnh: phân loại các đa giác theo nhóm đối xứng. Các hình do Mirella và papa cùng cắt. Bấm vào hình để phóng to)

Mirella thấy papa nói từ “nhóm” (groupe) cũng tò mò muốn biết nhóm là cái gì. Papa mới bảo Mirella là “mang một cái kéo ra, chúng ta sẽ học toán”. Mirella có vẻ nghi ngờ “sao lại học toán bằng kéo”. Papa động viên “cứ mang ra rồi sẽ thấy toán rất hay”. Dụng cụ chính của lần học này là một cái kéo và mấy tờ giấy để cắt.

Các hình tam giác

Đầu tiên, papa bảo Mirella cắt mấy hình tam giác: tam giác “thường” (3 cạnh khác nhau), tam giác cân (có 2 cạnh bằng nhau), và tam giác đều (3 cạnh bằng nhau). Mirella lại phản đối “tam giác học từ cách đây mấy năm rồi”. Papa phải trấn an “nhưng có cái vẫn chưa học”.

Sau khi có 3 hình tam giác đặt trên sàn nhà rồi (Mirella và papa ngồi trên sàn trải thảm trong phòng của anh của Mirella — anh đã đi Paris học nên bây giờ phòng trống), papa mới hỏi: “bây giờ nếu lôi hình tam giác thường ra rồi đặt nó lại khớp vào chỗ cũ thì có mấy cách đặt”. Trả lời “chỉ có 1 cách, là xếp hệt lại như cũ”. “Thế còn hình tam giác cân thì có mấy cách ?”. “Có hai cách, xếp hệt như cũ, hoặc là có thể lật mặt nó lại”. Thế còn hình tam giác đều ? “Có 4 cách, hoặc là để như cũ, hoặc là quay nó về bên trái, hoặc là quay về bên phải, hoặc là lật mặt lại”. “Chỉ có 4 cách thôi à”. Ngẫm nghĩ thêm một lúc, Mirella phát hiện ra là có 6 chứ không phải là 4, vì có 3 cách lật mặt chứ không phải một.

“Đấy chính là các nhóm đối xứng đấy”, papa nói. Nhóm đối xứng của tam giác thường chỉ có 1 phần từ (một phép đối xứng), là phép “để yên” (không dịch chuyển gì cả). Nhóm đối xứng của tam giác cân có 2 phần tử, còn của tam giác đều có 6 phần tử.

Chuyển sang tứ giác.

Nhóm đối xứng của một tứ giác có thể có mấy phần tử ?

Hình tứ giác nào nhiều đối xứng nhất ? Mirella đoán ra ngay là hình vuông ? Nó có mấy đối xứng ? 4 x 2 = 8, tương tự như tam giác đều có 3 x 2 = 6 đối xứng.

Thế các hình nào, ngoài hình vuông, sẽ có nhiều đối xứng nhất ? Mirella nghĩ ra được hình chữ nhật và hình thoi. Cả hai hình này đều có 4 đối xứng.

Thế nếu không phải là 4 đối xứng, mà cũng không phải chỉ có 1 đối xứng, thì có thể có mấy ? Có 2 được không ? Được. Mirella nghĩ ra một hình có đúng 2 đối xứng, là hình “dấu mũ” (như trên chữ ô, tiếng Pháp gọi là “circonflexe”). Đây là một tứ giác lõm đối xứng theo trục giữa. Có thể làm tứ giác lồi đối xứng theo trục tương tự. Để cắt ra nó, gập mảnh giấy làm 2, rồi cắt từ đó 1 hình tam giác với 1 cạnh là mép gập. Khi xòa lại tam giác ra thì thành tứ giác đối xứng trục, có hình như là “cái mũi tên” hay “cái diều” (từ mũi tiên là papa nghĩ ra, từ diều do Mirella nghĩ ra). Ngoài ra còn những hình nào có 2 đối xứng ? Hình thang đều cũng có đối xứng trục, nhưng là trục đi qua 2 cạnh chứ không phải là đi qua 2 đỉnh như hình mũi tên. Còn hình nào nữa ? Còn hình bình hành: hình này không có đối xứng trục, nhưng có đối xứng quay 1 góc 180 độ.

Thế hình tứ giác nào ít đối xứng nhất ? Dễ quá, cứ cắt đại một hình tứ giác tùy ý, thì nói chung là chẳng có đối xứng không tầm thường nào cả, tức là nhóm đối xứng của nó chỉ gồm 1 phần tử, là phép “để yên”.

Ngoài 1,2,4,8 đối xứng, có thể có tứ giác nào có số đối xứng khác vậy không ? Ví dụ như 3, hay 6 chẳng hạn ? Thử hình dung xem có tứ giác nào lại có 3 đối xứng được không ? Nếu “xoay 3″  (như là tam giác), thì số cạnh cũng phải là 3 hay 6 gì đó (chia hết cho 3) như vậy không được. Xem chừng không thể có các số nào khác ngoài 1, 2, 4, 8.

Vì sao vậy ? Vì 8 là số to nhất ở đây. Nhóm đối xứng to nhất là có 8 phần tử. Các số còn lại đều là ước số của 8. 3 không phải là ước số của 8 nên không thể được. (Đây không phải là chứng minh, mà mới chỉ là quan sát thôi).

Các ngũ giác

Ngũ giác nào có nhiều đối xứng nhất. “Dễ quá” rồi, ngũ giác đều, có 5×2 = 10 đối xứng.

Các ngũ giác khác có thể có bao nhiêu đối xứng ? 2 được không ? Được, cắt hình đối xứng trục bằng cách gập đôi tờ giấy lại như trước vậy. Phải cắt 1 tứ giác, có 1 cạnh là mép gập, và 1 cạnh vuông với mép đó, khi xòe ra sẽ thành ngũ giác cũng có “hình mũi tên”. Nhận xét thêm, là mọi đối xứng trục của ngũ giác đều đi qua 1 đỉnh và 1 cạnh, nên không có sự phân biệt như trong trường hợp tứ giác (giữa hình mũi tên và hình thang cân).

Ngoài 10, và 2, và 1 (một hình ngũ giác thường cắt ra một cách tùy ý, thì nhóm đối xứng chỉ có 1 phần tử là phần tử “để yên”), thì còn có số nào khác không ? Phải là ước số của 10, nên chỉ còn có số 5. Thế có thể là 5 được không. Mirella đoán ra ngay: 5 không được, vì nếu là 5 thì là phải “quay được 5 lần”, nhưng mà như thế phải thành ngũ giác đều, mà ngũ giác đều thì có 10 chứ không phải là 5 đối xứng.

 Các lục giác

Lục giác đều có 6×2=12 đối xứng. Có điều cắt được thành hình lục giác đều hơi khó. Mirella và papa cẳt ra hình hơi méo, nhưng cứ tưởng tượng đấy là lục giác đều.

Ngoài ra còn có các số nào nữa? Các ước số của 12 là 1,2,3,4,6.

Có hình lục giác nào có đúng 6 đối xứng không ? Có đấy. Chẳng hạn lấy 1 tam giác đều, rồi cắt đi 3 tam giác đều nhỏ ở 3 đỉnh, ta được một hình lục giác có 6 đối xứng.

Thế lục giác 3 đối xứng thì sao ? Cũng có: lấy tam giác đều, cắt đi 3 tam giác nhỏ bằng nhau ở 3 đỉnh, nhưng lần này các tam giác nhỏ không đều nữa mà là “nghiêng”.

Còn 2 đối xứng ? Tương tự như là tứ giác vậy, có 3 loại: loại “mũi tên” (đối xứng trụng đi qua 2 đỉnh), loại “cái tráp” (đối xứng trục đi qua 2 cạnh), và loại “hình bình hành cụt” (hình bình hành bị cắt bớt ở 2 đầu, đối xứng xoay 180 độ)

Chỉ có 1 ? Dễ quá, cắt đại một hình lục giác méo mó nào, thì nhóm đối xứng của nó cũng chỉ có 1 phần tử.

Thể 4 đối xứng thì sao ? Nếu là đối xứng “xoay 4 lần” thì là hình phải có số cạnh chia hết cho 4. Thế còn sinh bởi 2 phép lật vuông góc với nhau (hay là 1 phép lật và 1 phép xoay 180 độ, cũng hệt vậy) , như là hình chữ nhật hay hình thoi, thì sao ? Thì được chứ sao! Lấy hình thoi, cắt bẹt đi 2 đầu, sẽ được hình lục giác có đúng 4 đối xứng. (Lúc đầu papa  còn quên cả trường hợp này vì nhiều hình quá, rồi mới nghĩ lại là có cả trường hợp này nữa vì 4 cũng là ước số của 12 :D)

Vì sao ngũ giác có ít nhóm đối xứng ?

Thí nghiệm với các đa giác cho thấy, đối với tứ giác và lục giác, có nhiều nhóm đối xứng khác nhau, nhưng ngũ giác chỉ có 3 loại nhóm đối xứng (nhóm 1 phần tử, nhóm 2 phần tử sinh bởi đối xứng trục, và nhóm 10 phần tử sinh bởi 1 phép quay góc 2 pi chia 5 và 1 phép đối xứng trục). Papa hỏi Mirella: “Tại sao ngũ giác lại có ít nhóm đối xứng vậy ?”

“Vì số 5 là số lẻ ?” Không hẳn vậy. Nếu lấy các hình 9 cạnh chẳng hạn, cũng sẽ có nhiều nhóm đối xứng. “Vì số 5 là số nguyên tố ?”. Đúng rồi. Nếu lấy số nguyên tố p bất kỳ nào khác, thì các hình p-giác cũng chỉ có 3 loại nhóm đối xứng: 1 phần tử, 2 phần tử (đối xứng trục) và 2p phần tử (nhóm đối xứng của p-giác đều).

Phép nhân và phép nghịch đảo trong nhóm

Lấy một nhóm đối xứng phía trên, chẳng hạn như nhóm đối xứng của hình lục giác đều, và lấy hai phần của nó, chẳng hạn: phần tử A là xoay về bên phải 1 góc 60 độ, và phần tử B là lật mặt theo một trục đối xứng đi qua 2 cạnh c1 và c4 (đánh số các cạnh thành c1, c2, … c6 theo chiều kim đồng hồ).

Nếu ta quay về bên phải 60 độ, rồi lại quay về bên trái 60 độ, thì sẽ thành như là để yên. Tức là phép quay về bên trái là đảo nghịch lại của phép quay về bên phải. Ta ký hiệu phép quay về bên trái là A^{-1}. Ký hiệu phép “để yên” là I, ta có thể viết:

A^{-1}. A = I

(A âm một nhân A bằng I). Phép nhân ở đây chính là phép kết hợp (composition): đầu tiên làm phép A, rồi tiếp đến làm phép A âm một, kết quả là được phép I (bằng là không làm gì).

Nếu đầu tiên là làm phép quay A, rồi lại tiếp tục phép quay A, cứ thế 5 lần liền, thì được cái gì ? Sẽ được phép quay về phía bên phải một góc là 60×5 = 240 độ. Nhưng như thế cũng bằng quay về bên trái một góc 60 độ, tức là bằng A âm 1. Bởi vây có thể  viết

A^{-1} = A.A.A.A.A = A^5

Cũng có thể viết A^6 = I (làm 6 lần A liên nhau thì cũng như không làm gì cả, A mũ 6 thì bằng “để yên”). Phần tử “để yên” I gọi là phần tử đơn vị của nhóm.

Nếu đầu tiên thực hiện phép A, rồi sau đó thực hiện phép B, thì được cái gì ? Kết quả sẽ là đối xứng trục, theo trục đi qua đỉnh nằm giữa các cạnh c1 và c6. (Kiểm tra mà xem). Gọi phép đối xứng trục này là C chẳng hạn, ta có thể viết:

B.A = C

Chú ý, theo qui ước, phép A thực hiện trước thì viết phía bên phải trong tích A nhân với B, còn B thực hiện sao thì viết phía bên phải. Như vậy đọc là B nhân A thì chính xác hơn.

Nếu ta thực hiện B trước, rồi A sau, thì được phép nào ? Kết quả cũng là một đối xứng trục qua đỉnh, nhưng đỉnh bây giờ là đỉnh nằm giữa các cạnh c1 và c2, chứ không phải là trục lúc nãy ! Như vậy ta có

A.B \neq B.A (người ta nói rằng A không giao hoán với B, khi xảy ra như vậy)

Nếu thực hiện hai lần B liên tiếp thì sao ? Thì như là đứng yên:

B^2 = I, hay có thể viết B^{-1} = B (lật ngược cũng như lật xuôi).

Thử thực hiện B, rồi đến A, rồi lại đến B, xem được phép đối xứng nào ?

Kết quả là B.A.B = A^{-1}: phép quay 60 độ về bên trái.

Nhóm đối xứng hai phần tử

Phép đối xứng trục (lật ngược lại hình theo một trục), nếu thực hiện 2 lần phép đó thì lại quay về hệt như cũ. Các hình chỉ có đối xứng trục, ví dụ như là hình thang cân, hay tất cả các hình khác cùng cột với hình thang cân ở trong cái ảnh các hình được cắt ra trong bài này, thì có nhóm đối xứng gồm 2 phần tử, ký hiệu là I và B chẳng hạn: I là phần tử “để yên”, B là phần từ “lật ngược lại”

Nếu làm 2 lần B thì lại thành I: viết là B.B = I. Ngoài ra còn có: I.I = I, I.B = B, B.I = I (lật ngược rồi để yên, thì tức là lật ngược). Phần tử nghịch đảo của B cũng chính là B: B mũ âm 1 = B: lật “theo chiều ngược” thì cũng như là “lật theo chiều xuôi”.

Hình bình hành cũng có nhóm đối xứng gồm 2 phần tử, tạm gọi là i và b. i cũng là đứng yên, b không phải là lật ngược mà là quay 180 độ. Nhóm {I,B} và {i,b} như vậy là gồm các phép khác nhau (I và i đều là đứng yên, nhưng B khác b). Tuy nhiên, làm 2 lần phép quay 180 độ thì cũng thành trở về vị trí cũ, tức là cũng có b.b. =a. Rồi cũng có i.i = i, i.b = b.i = b.

Như vậy, tuy hai nhóm {i,b} và {I,B} là khác nhau, “làm các việc khác nhau”, nhưng “giống hệt nhau” nếu chỉ xét phép nhân trong chúng mà “quên đi việc chúng làm”: Nếu đổi tên i thành I và b thành B, thì phép nhân trong {i,b} trở thành đúng phép nhân trong {I,B}. Hai nhóm như vậy gọi là hai nhóm đẳng cấu (tiếng Pháp là isomorphe).

Mọi nhóm chỉ có 2 phần tử khác cũng đều đẳng cấu với nhóm {để yên, lật ngược}: ký hiệu phần tử “để yên” là i và phần tử còn lại là b, thì ta cũng phải có b.b = i (vì nó phải bằng i hoặc b vì nhóm chỉ có 2 phần tử, nếu b.b=b thì b lại là phần tử “để yên”, trùng với, như vậy không được)

Có các đối xứng khác không ?

Papa có giải thích cho Mirella là: một nhóm xứng chẳng qua là tập các đối xứng của một vật nào đó. “Thế mọi nhóm đều là nhóm đối xứng à ?” Đúng thế, có thể hiểu như vậy.

Mirella quan sát là, tất cả các đối xứng phía trên chỉ gồm có hai loại: phép quay và phép đối xứng trục. Thật vậy, mọi phép bảo toàn hình (trong không gian Euclid bình thường) đều là hợp của các quép quay và các phép đối xứng “lật mặt” (trong R2 thì là đối xứng trục, con trong R3 là đối xứng gương theo 1 mặt phẳng).

Mirella mới thắc mắc: “có các loại đối xứng khác không ?”. Tất nhiên là có chứ, tùy thuộc ta gọi cái gì là một “đối xứng”. Chẳng hạn lấy một cái ảnh, có thể phóng to thu nhỏ nó, tỷ lệ của các thứ trong ảnh vẫn không thay đổi. Nếu gọi một phép phóng to thu nhỏ như vậy là đối xứng, thì có các phép đối xứng như vậy nữa. Mirella thắc mắc: “Nhưng mà phóng to cỡ nào cũng được, có vô hạn phép phóng to, thế thì nhóm lúc đó cũng vô hạn à ?”. Chính thế ! :D

Bổ sung

(Bổ sung một vài ý, chưa kịp dạy Mirella, cho bạn nào quan tâm)

Các nhóm của các hình đa giác đều gọi là các nhóm nhị diện (dihedral) Dn: hình dung nó như là một hình bẹt có 2 mặt, và một phép đối xứng trục có thể hình dung trong không gian 3 chiều như là phép lật mặt, đổi mặt này của nhị diện thành mặt kia. Nhóm nhị diện Dn có 2n phần tử, và không giao hoán nếu n lớn hơn hoặc bằng 3.

Nếu có một nhóm G1 là nhóm con của nhóm G2 gồm hữu hạn phần tử, thì số phần tử của G2 chia hết cho số phần tử của G1 (vì sao vậy ?). Nhóm đối xứng của 1 hình n giác bất kỳ là nhóm con của nhóm đối xứng của hình n giác đều (vì sao vậy ?). Do đó mà ta có tính chất chia hết quan sát phía trên: số phần tử của  nhóm đối xứng của n giác bất kỳ là ước số của 2n.

Như phía trên đã quan sát, nhiều hình khác nhau có thể có cùng nhóm đối xứng. Cũng có thể là các nhóm đối xứng khác nhau nhưng đẳng cấu với nhau.

Bài tập: Tìm xem các nhóm dihedral D8, D9 có các nhóm con nào, có thể ứng với cách hình 8 giác hay 9 giác nào ?

 

Print Friendly
 

3 comments to Các bài giảng về toán cho Mirella (2)

  • quoctan MonsterID Icon quoctan

    Các bài viết trên Blog của thầy thật có giá trị. Theo em nghĩ thầy nên viết một quyển sách về vấn đề dạy học toán bằng tiếng Việt để mọi người tham khảo. Cảm ơn thầy vì các bài viết.

  • hhhuuu MonsterID Icon hhhuuu

    Thật là hay, xin cảm ơn tiền bối !! :-)

  • hhhuuu MonsterID Icon hhhuuu

    Sau khi đọc xong bài “Làm sao để dạy tốt” mà có nhắc đến nhóm và bài này, em cũng “ngộ” ra được một tí về nhóm. Nhưng vẫn chưa thông được 1 vấn đề, mong tiền bối giúp đỡ:
    - Với nhóm: mỗi phần tử là một tác động đối xứng, phép toán (kí hiệu là “+” hoặc “*”) trang bị trên nó là “kết hợp” của 2 tác động. Tiền bối đã cho các ví dụ rất sinh động và sâu sắc.
    - Vậy cái “vành” (ring), là nhóm có 2 phép toán “+” và “*” thì xuất phát từ bài toán/vấn đề thực tiễn trực quan nào ạ? Hẳn là nó chẳng trên trời rơi xuống.

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree