Các bài giảng về toán cho Mirella (1)

 

Lời giới thiệu

Mirella là cô con gái năm nay học lớp 3ème (tương đương với lớp 9 ở Việt Nam). Nó không hề phải đi học thêm (các môn học ở trường) như là ở Việt Nam, chưa bao giờ đi học thêm ở lớp nào, có đi học ngoại khóa chỉ là học đánh đàn và học vẽ theo sở thích thôi. Đi học ở trường về là nó có rất nhiều thời gian rảnh rỗi để đọc sách, chơi bời, vẽ vời, v.v. Dạo này Mirella rất thích học toán. Có thể là do cô nàng không muốn thua kém gì cậu anh của cô vừa vào ENS Paris. Vì không đi học thêm ở đâu, nên người dạy thêm duy nhất cho Mirella về toán chính là bố cô. Ngày nào Mirella cũng hỏi “bố ơi hôm nay có học toán không ?”. Bởi vậy bố cô hàng tuần cũng phải nghĩ ra các đề tài để dạy Mirella về toán.

Đề tài bố cô nghĩ ra để dạy phải là các đề tài thú vị, chứ không phải là dạy lại các thứ học ở trường. Cũng phải “nát óc” mới nghĩ ra các đề tài thú vị và hợp với trình độ Mirella hiểu được. Và sau đó cũng phải kiên nhẫn giải thích cho Mirella biết đấy chính là toán, chứ có khi Mirella không chịu công nhận đấy là toán !

Toán học không đơn thuần là mấy phép tính, phương trình, hay định lý. Toán học bao gồm những khái niệm xuất phát một cách hết sức tự nhiên trong việc tìm cách giải quyết các vấn đề thực tế. Học toán cũng là học cách tiếp cận các vấn đề, tìm hướng giải quyết, suy luận logic và tự nhiên, v.v. Hy vọng các bài giảng này cho Mirella sẽ giúp cô bé phát triển trí tuệ. Tôi viết lại chúng ở đây sau mỗi lần dạy Mirella, biết đâu giúp ích được luôn cho các bạn học sinh phổ thông khác.

Đây là các bài giảng “không có độ tuổi”: hy vọng là đầu cấp hai cho đến cuối phổ thông sẽ đều hiểu được ít ra là một phần, và sẽ đều thấy có cái mới trong đó, vì nó là những thứ hầu như không được dạy trong chương trình chính thức ở phổ thông về toán, tuy nó cũng là toán không quá phức tạp mà lại giúp ích phát triển khả năng suy nghĩ.

Bài toán tìm đường ngắn nhất nối 4 đỉnh của một hình vuông

Ai cũng biết đường ngắn nhất nối 2 điểm trên mặt phẳng (hay trong không gian Euclid bình thường) là đoạn thẳng. Nhưng bài toán sau khó hơn: Hãy tìm đường ngắn nhất nối 4 đỉnh của một hình vuông.

Đường ở đây có thể gồm nhiều đoạn, nhiều chỗ nối, miễn sao đi đường từ đỉnh này đến đỉnh khác bằng đường đó, như là đường giao thông vậy. Có thể phát biếu bài toán sinh động hơn như thế này: có cái nhà 4 đỉnh một hình vuông có cạnh là 1km ở một vùng đồng bằng  “đồng không mông quạnh”, chưa có đường nào nối 4 nhà đó. Hãy làm đường ngắn nhất để nối các nhà với nhau.

Có rất nhiều cách nối, chẳng hạn như các cách a, b, c, d, e trên hình vẽ. Xem Hình 1.

(Bấm vào hình vẽ để phóng to lên)

Nhận xét 1 (Mirella tự nhận xét): Đường cong thì không ngắn nhất được, vì có thể thay đường cong bằng đường thẳng cho ngắn hơn. Vậy đường ngắn nhất phải gồm các đoạn thẳng. Như vậy cách e không phải ngắn nhất

Nhận xét 2 (papa cùng tính với Mirella): Cách a có độ dài là 3, cách b là 2 + \sqrt{2}, cách c cũng là 3 như cách a, cách d là 2\sqrt{2}. Trong các cách này, thì cách b là dài nhất. So sánh cách a (và c) với cách d:

3 \ ? \ 2\sqrt{2}

Lấy bình phương lên được 9 > 8, do vậy 3 > 2\sqrt{2}. Như vậy cách d ngắn hơn cách a.

Câu hỏi: Cách d đã ngắn nhất chưa ?

Mirella vẽ được thêm cách f (có thể là từ trong trí nhớ, vì papa có lần nhắc đến rồi). Xem Hình 2. Độ dài của cách f là bao nhiêu ? Dùng công thức Pythagore tính ra được là 1 + \sqrt{3}

So sánh hai số 1 + \sqrt{3} \ ? \ 2 \sqrt{2}

Bình phương lên: 4 + 2 \sqrt{3} \ ? \ 8

Trừ đi 4 rồi chia hai: \sqrt{3} < 2

Như vậy 1 + \sqrt{3} < 2 \sqrt{2}, và tức là cách f tốt hơn cách d.

Câu hỏi: Cách f đã phải là cách tốt nhất chưa ?

Không nghĩ ra cách nào có vẻ tốt hơn, nên tạm thời giả thuyết là cách f là tốt nhất. Nhưng làm sao chứng minh (hay phủ nhận) giả thuyết này ?

Ta tiếp cận vấn đề một cách khác: giả sử có một cách tốt nhất. Nó sẽ phải có các tính chất gì  ?

Tính chất 1: Gồm các đoạn thẳng chứ không có đoạn cong (như đã nhận xét từ trước). Ngoài ra không có đường “chạy thành 1 vòng” (vì nếu có vòng như vậy, thì có thể cắt bớt đi 1 đoạn của vòng đó).

Tính chất 2: Phải có điểm rẽ nhánh. Nếu không thì sẽ thành như là cách a hay cách b, không phải là cách ngắn nhất.

Tính chất 3: Điểm rẽ nhánh  chỉ có thể là rẽ nhánh 3, chứ không thể có nhiều hơn hoặc bằng 4 nhánh. Ví dụ như cách d không phải cách tốt nhất, vì có điểm rẽ nhánh (ở giữa) với 4 nhánh.

Chứng minh tính chất 3: Điểm rẽ nhánh thì các nhanh tạo thành các góc tại điểm đó. Nếu có góc nhỏ hơn 90 độ thì không phải cách tốt nhất vì có thể thay đường cho thành ngắn hơn. Xem Hình 3. Vậy các góc đều lớn hơn hoặc bằng 90 độ. Như vậy không thể có lớn hơn hoặc bằng 5 nhánh, và nếu có 4 nhánh thì phải như là trong cách d với 4 góc đều bằng 90 độ. Nhưng như vậy cũng không phải tốt nhất, vì có thể thay thế phần gần điểm rẽ nhánh tương tự như là thay cách d bởi cách f vậy, sao cho đường ngắn đi. Xem hình 4. Vậy nên các điểm rẽ nhánh chỉ có thể có 3 nhánh.

Câu hỏi: Các đỉnh có là các điểm rẽ nhánh được không ? Câu trả lời sẽ là không, nhưng trước hết ta thêm tính chất “hiển nhiên” sau:

Tính chất 4: Đường phải nằm trong hình vuông (không chạy ra ngoài hình vuông)

Chứng minh: đoạn đường nào mà chạy ra ngoài hình vuông, có thể kéo ngược lại vào hình vuông sao cho thành ngắn đi (mà vẫn đảm bảo liên thông). Xem Hình 5.

Tính chất 5: Các đỉnh không phải là các điểm rẽ nhánh. [Lý do: vì các đỉnh ở đây là các đỉnh của một hình lồi]

Chứng minh: sử dụng tính chất 4, suy ra nếu rẽ nhánh tại một đỉnh thì có góc nhỏ hơn 90 độ ở đó, suy ra không tốt nhất, tương tự như trong chứng minh tính chất 3. Xem lại Hình 3.

Tính chất cuối cùng sau đây là mấu chốt của vấn đề:

Tính chất 6: 3 góc ở một điểm rẽ nhánh phải bằng nhau (và bằng 120 độ)

Chứng minh. Giả sử có góc này nhỏ hơn góc khác, như là trong Hình 6. Kéo điểm rẽ nhánh một chút (một khoảng epsilon) về phía góc nhỏ hơn, như là trên Hình 6. Với epsilon dương và đủ nhỏ, thì việc kéo như vậy làm cho độ dài của đường nhỏ đi.

Chứng minh khẳng định cuối cùng này bằng cách tính hiệu của độ dài đường mới so với đường cũ, như là một hàm của epsilon: hàm này có một phần tuyến tính theo epsilon với hệ số âm, và phần còn lại là bậc hai (và cao hơn) theo epsilon. (Tính cụ thể ra). Chia hàm đó cho epsion thì được một số âm cộng với một phần nhỏ khi epsilon nhỏ. Bởi vậy thương đó là âm khi epsilon nhỏ, suy ra hiệu là âm, tức là độ dài nhỏ đi. Nói cách khác: đạo hàm theo epsilon là âm, nên nó giảm đi khi epsilon là số dương đủ nhỏ. (Tôi sẽ không viết lại công thức tính ở đây).

(Bổ sung: có 1 cách khác tốt hơn để chứng minh Tính chất 6 là: nếu có góc nhỏ hơn 120 độ thì kéo điểm điểm rẽ theo hướng đường trung trực của góc đóc một chút sẽ làm cho độ dài của đường nhỏ đi. Điều này chứng tỏ, trong trường hợp tổng quát, đường ngắn nhất không có góc nhỏ hơn 120 độ, cả cả khi là góc ở 1 đỉnh ban đầu)

Vì cách f có đủ 6 tính chất trên, nên có khả năng nó là cách ngắn nhất thật. Để kết luận, ta cần thêm các khẳng định sau:

Khẳng định 1: Tồn tại cách ngắn nhất

(Chứng minh điều này cần đến khái niệm giới hạn trong không gian các đường nối 4 đỉnh, ta tạm thời chấp nhận nó ở đây mà không chứng minh chặt chẽ).

Khẳng định 2: Có đúng 2 cách thỏa mãn cả 6 tính chất trên, là cách f và cách f’ tương tự nó (xoay đi 1 góc 90 độ thì cũng thành cách f)

Khẳng định 2 này là bài tập. (Gợi ý: đầu tiên hãy chứng minh là có đúng 2 điểm rẽ nhánh).

Kết luận: Cách f chính là cách ngắn nhất. Đường ngắn nhất nối 4 đỉnh của hình vuông cạnh bằng 1 có độ dài là 1 + \sqrt{3}.

 Mở rộng để tiếp tục suy nghĩ:

(Phần lớn những câu sau còn quá khó với Mirella trừ câu đầu, nhưng các bạn học sinh hay sinh viên năm trên có thể nghĩ xem)

* Nếu không phải là 4 đỉnh của hình vuông mà là 3 đỉnh của tam giác thì sao ? 5 đỉnh của ngũ giác thì sao ? Một cách tổng quát, đường ngắn nhất nối n điểm trên mặt phẳng phải có các tính chất gì? (Đây gọi là bài toán Steiner)

* Nếu thay mặt phẳng bằng mặt cầu thì sao? Bằng khối lập phương (đường phải nằm trên mặt của khối lập phương) thì sao?

* Nếu xét các đỉnh trong không gian 3 chiều thì sao? Khi đó các điểm rẽ nhánh phải có các tính chất gì?

Print Friendly
 

4 comments to Các bài giảng về toán cho Mirella (1)

  • Nosh MonsterID Icon Nosh

    Hay qua, xin Prof. Zung cho phep su dung nhung bài này để dạy một bé, là con gái của bạn Sinh Hoa cùng lớp A0 với Zũng nhé.

  • admin MonsterID Icon admin

    Ok bao giờ nó thành tài thì bố mẹ nó nhớ trả nhuận bút cho tớ là được :D

  • Tính chất 6 dùng cơ học có thể giải thích được khá trực giác. Ta cho mỗi đoạn thẳng là một cái dây có độ căng F không đổi. Năng lượng chữa trong mỗi đoạn dây có độ dài L bằng FL. Bài toán tìm độ dài nhỏ nhất biến thành bài toán tìm cực tiểu năng lượng. Trạng thái có năng lượng cực tiểu là trạng thái có cân bằng về lực. Xét điểm có 3 dây chụm vào nhau, ở đó có ba lực có độ lớn bằng F tác động vào, nhưng hướng vào 3 hướng khác nhau. Để cho tổng của 3 lực bằng 0, các góc giữa chúng phải bằng 120 độ.

  • admin MonsterID Icon admin

    Cảm ơn bác Sơn cho cách giải thích hay về tính chất góc này

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree