Bài tập toán cho sinh viên

By NTZung, on July 9th, 2012

Vài bài tập cho những ai thích nghiên cứu. Chỉ cần kiến thứ cơ sở (2 năm đầu đại học), nhưng phải suy luận.

Bài 1. Gọi $\mathbb{R}^2$ là mặt phẳng với khoảng cách Euclide thông thường. Giả sử $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ là một ánh xạ bảo toàn khoảng cách 1. (Tức là nếu $d(x,y)=1$ thì $d(f(x),f(y)) = 1$
trong đó $d$ ký hiệu khoảng cách Euclide). Chứng minh rằng $f$ là một đẳng cự a-fin (affine isometry).

Bài 2. Cho $X$ là một miền lồi compact trong $\mathbb{R}^2$ với khoảng cách Euclide thông thường và gọi $\delta$ là đường kính của $X$ . Gọi $z$ là một điểm bất kỳ của $\mathbb{R}^2$ . Chứng minh rằng khoảng cách trung bình từ $z$ đến các điểm của $X$ lớn hơn hoặc bằng $\delta / 12$ . (Khi nào dấu bằng xảy ra ?)

Bài 3. (Bất đẳng thức nội suy Kolmogorov) Giả sử $f$ là một hàm thực khả vi liên tục 2 lần sao cho $f$
và $f''$ có bình phương khả tích trên $\mathbb{R}^2$ .

a) Chứng minh rằng $f'$ cũng có bình phương khả tích trên $\mathbb{R}^2$ .
b) Chứng minh rằng
$(\int_{\mathbb R} (f'(x))^2 dx)^2 \leq (\int_{\mathbb R} (f'(x))^2 dx)(\int_{\mathbb R} (f''(x))^2 dx)$
c) Chứng minh rằng $f$ liên tục đều trên $\mathbb{R}^2$ và tiến tới 0 tại vô cùng.

Nghị

July 18, 2012 at 9:51 pm

Phần b) của bài 3), có lẽ hàm f’(x) bên vế phải nên được thay bằng f(x).

Vu Nam Phong

September 17, 2012 at 7:43 am

Ngay xua hoc chuyen toan Ao rat mau toan. Vay ma bay gio doc nhung de nay thay la hoac(?)
Mat khac, chuyen sau ve toan qua kho co co hoi ve que huong cong tac. Thoi luu hoc sinh nhung nguoi gioi nhat duoc tuyen di hoc Toan hoac Vat ly hat nhan. Neu co ve VN cung that nghiep thoi. Phi hoai bao the he tai nang.

ZetaMu

Hiến pháp

Tiêu Điểm

Feed Back

Meta

Bài tập toán cho sinh viên

2 comments to Bài tập toán cho sinh viên

Leave a Reply Cancel reply

Mathematics

Economics

Links