Bài tập toán cho sinh viên

 

Vài bài tập cho những ai thích nghiên cứu. Chỉ cần kiến thứ cơ sở (2 năm đầu đại học), nhưng phải suy luận.

Bài 1.
Gọi \mathbb{R}^2 là mặt phẳng với khoảng cách Euclide thông thường. Giả sử f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 là một ánh xạ bảo toàn khoảng cách 1. (Tức là nếu d(x,y)=1 thì d(f(x),f(y)) = 1
trong đó d ký hiệu khoảng cách Euclide). Chứng minh rằng f là một đẳng cự a-fin (affine isometry).

Bài 2. Cho X là một miền lồi compact trong \mathbb{R}^2 với khoảng cách Euclide thông thường và gọi \delta là đường kính của X. Gọi z là một điểm bất kỳ của \mathbb{R}^2. Chứng minh rằng khoảng cách trung bình từ z đến các điểm của X lớn hơn hoặc bằng \delta / 12. (Khi nào dấu bằng xảy ra ?)

Bài 3. (Bất đẳng thức nội suy Kolmogorov) Giả sử f là một hàm thực khả vi liên tục 2 lần sao cho f
f'' có bình phương khả tích trên \mathbb{R}^2.

a) Chứng minh rằng f' cũng có bình phương khả tích trên \mathbb{R}^2.
b) Chứng minh rằng
(\int_{\mathbb R} (f'(x))^2 dx)^2 \leq (\int_{\mathbb R} (f'(x))^2 dx)(\int_{\mathbb R} (f''(x))^2 dx)
c) Chứng minh rằng f liên tục đều trên \mathbb{R}^2 và tiến tới 0 tại vô cùng.

Print Friendly
 

2 comments to Bài tập toán cho sinh viên

  • Nghị MonsterID Icon Nghị

    Phần b) của bài 3), có lẽ hàm f’(x) bên vế phải nên được thay bằng f(x).

  • Vu Nam Phong MonsterID Icon Vu Nam Phong

    Ngay xua hoc chuyen toan Ao rat mau toan. Vay ma bay gio doc nhung de nay thay la hoac(?)
    Mat khac, chuyen sau ve toan qua kho co co hoi ve que huong cong tac. Thoi luu hoc sinh nhung nguoi gioi nhat duoc tuyen di hoc Toan hoac Vat ly hat nhan. Neu co ve VN cung that nghiep thoi. Phi hoai bao the he tai nang.

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree