Bầu cử chẳng phải trò đùa: đứng núi này trông núi nọ

 

Trong một chuyện cổ tích, có một cô gái có 3 chàng trai tài ba đến cầu hôn, mà cô gái loay hoay mãi vẫn không biết nên chọn tràng nào. Cô thích chàng B hơn chàng A, vì chàng B hào hoa phong nhã hơn. Nhưng cô lại thích chàng C hơn chàng B, vì chàng C thông minh sắc sảo hơn, nhưng cô lại thích chàng A hơn chàng C, vì chàng A vạm vỡ chắc chắn hơn. Mãi không quyết định được, nên cô đành ở vậy :-( .

Cô gái trong chuyện trên gặp phải tình huống éo le, mà theo thuật ngữ toán học thì gọi là các lựa chọn không xếp được theo thứ tự có tính bắc cầu (tức là nếu thích A hơn B, thích B hơn C, thì cũng thích A hơn C), mà việc xếp thứ tự bị mắc phải lỗi quay vòng (cyclicity). Theo thuật ngữ xã hội, thì lỗi quay vòng của các lựa chọn của cô gái này được gọi là phi lý trí.

Từng người một có thể phi lý trí, thì xã hội cũng có thể phi lý trí. Tệ hơn nữa, là kể cả khi từng người một trong xã hội đều có lý trí (tức là biết mình thích lựa chọn nào hơn lựa chọn nào trong số các lựa chọn được đưa ra), thì cả xã hội cũng vẫn có thể phi lý trí. Nghịch lý về lựa chọn xã hội này đã được Condorcet phát hiện từ thế kỷ 18, và hay được gọi là nghịch lý Condorcet.

Lấy một ví dụ đơn giản sau: giả sử có 5 người A,B, C,D,E cần chọn ra một giải pháp trong số 3 giải pháp x,y,z. Kết quả chọn lựa như sau:

A: x,y,z (tức là A thích x nhất, sau đó đến y, và cuối cùng mới đến z)

B: y,z,x

C: z,x,y

D: y,z,x

E: x,z,y

Có thể coi là xã hội 5 thành viên A, B, C, D, E thích lựa chọn x hơn là y,  vì có 3 người thích x hơn y trong khi chỉ có 2 người thích y hơn x. Nhưng nếu so giữa y và z thì y thắng vì có 3 người thích y hơn z, và nếu so giữa z và x thì z lại thắng. Như vậy là cái xã hội này đã rơi vào vòng phi ý trí, như là cô gái phía trên.

Đến quãng những năm 1950-1960, vấn đề phi lý trí này đã được Kenneth Arrow nghiên cứu và đưa ra thành định lý về tính “không thể có lý trí” của các hệ thống bầu cử (chọn lựa) trong xã hội. Một phần nhờ định lý này mà Arrow được giải Nobel về kinh tế năm 1972.

Phát biểu toán học của định lý không thể (impossibility theorem) của Arrow như sau:

Gọi A là tập hợp các lựa chọn (các ứng cử viên), và L(A) là tập hợp tất cả các xắp xếp thứ tự tuyến tính đầy đủ của A. Một xắp xếp thứ tự tuyến tính đầy đủ là khi với 2 phần tử x,y khác nhau bất kỳ của A thì hoặc x > y (x được thích hơn y) hoặc y > x nhưng không thể cả hai, và có tính bắc cầu. Một hàm lựa chọn xã hội chặt chẽ là một hàm F: L(A)^N \to L(A), trong đó $N$ là số cử tri (mỗi cử tri xắp xếp các lựa chọn theo ý mình, và hàm F là hàm bầu cử đưa ra lựa chọn chung của toàn xã hội dựa trên các lựa chọn riêng của từng cử tri). Định lý Arrow nói rằng, nếu như tập A có ít nhất 3 phần tử (3 ứng cử viên), thì không thể có được hàm F nào thỏa mãn cả 3 điều kiện sau:

1) Tính nhất quán, hay còn gọi là điều kiện hiệu quả Pareto) (unanimity, Pareto efficiency): Nếu mọi cử tri đều cho x nằm trên y, thì trong lựa chon chung của xã hội x cũng nằm trên y.

2) Không có độc tài (no dictator): Có độc tài là khi tồn tại một chỉ số i \in \{1,2,\hdots,N\} sao cho luôn có F(R_1,\hdots,R_n) = R_i với mọi (R_1,\hdots,R_n) \in L(A)^N (độc tài quyết định thay cho toàn xã hội, bất kể sở thích của những người khác ra sao)

3) Sự không phụ thuộc vào các lựa chọn không liên quan (independence of irrelevant alternatives, viết tắt là IIA). Điều đó có nghĩa là, nếu như các cử tri chuyển vị trí xếp hạng của một lựa chọn z nào đó trong các bảng xếp hạng của mình nhưng không làm thay đổi thứ tự tương đối của các lựa chọn khác, thì điều đó cũng không làm thay đổi thứ tự tượng đối của các lựa chọn khác trong bảng xếp hạng chung của toàn xã hội. (z ở đây được coi là lựa chọn không liên quan đến bảng xếp hạng tương đối giữa các lựa chọn khác). Tính chất này có thể hình dung qua ví dụ sau: Một người được chọn giữa 1 xe BMW và 1 xe Mercedes và quyết định chọn BMW, sau khi tham khảo nhiều ý kiến. Khi người đó nghe nói “Audi bền lắm”, thì điều đó không làm thay đổi quyết định chọn BMW thay vì Mercedes.

Hàm F phía trên là luật bầu cử (lựa chọn xã hội). Như vậy, theo định lý Arrow, thì không có một hệ thống bầu cử nào thỏa mãn cả 3 tính chất rất có lý trên, mà lại luôn xắp xếp được thứ tự các lựa chọn xã hội, mà không rơi vào tình trạng quay vòng phi lý trí dù cho các cử tri chọn lựa ra sao. Chứng minh định lý Arrow không khó: nó chỉ dài khoảng 1 trang, và có thể làm bài tập cho những ai tò mò. Còn ai sốt ruột thì có thể đọc chứng minh của nó ở trang web wikipedia về định lý Arrow đã có link phía trên. Tuy không khó, nhưng định lý Arrow được coi là một trong các cột mốc quan trọng nhất của lý thuyết hiện đại về lựa chọn của xã hội. Nó cũng hay bị suy diễn và hiểu sai. Chẳng hạn, người ta suy diễn từ nó ra rằng các hệ thống dân chủ đều tồi, không có một hệ thống bầu cử dân chủ nào là tốt cả. Thực ra, định lý Arrow không phải vậy. Nó chỉ nói rằng, với bất cứ một hệ thống bầu cử nào theo kiểu sắp xếp thứ tự dựa trên sắp xếp thứ tự của các cử tri, thì cũng tồn tại những tình huống “éo le” không cho ra kết quả thỏa mãn các tính chất “có lý trí”. Nhưng các tình huống “éo le” này ít xảy ra trên thực tế, và nếu nó éo le với hệ thống bầu cử này, thì có thể là không “éo le” với hệ thống khác, nên việc chọn lựa hệ thống bầu cử thích hợp cũng là quan trọng.

Một “định lý không thể” thú vị khác trong kinh tế học là định lý Holstrom, được phát biểu như sau: không tồn tại “incentive system” nào thỏa mãn cả 3 tính chất:

1) Cân bằng ngân sách (income = outflow)

2) Có điểm ổn định Nash

3) Thỏa mãn điều kiện hiệu quả Pareto.

 

 

 

 

 

 

 

Print Friendly
 

1 comment to Bầu cử chẳng phải trò đùa: đứng núi này trông núi nọ

  • lenka MonsterID Icon lenka

    Em thấy thông thường các cô khó nghĩ giữa 1 anh thông minh với 1 anh nhà giàu và 1 anh đẹp trai chứ nhỉ. Băn khoăn giữa 1 anh bác sỹ, 1 anh lễ tân với 1 anh nông dân thì không hợp lý lắm.

    Còn em thì cứ phải chọn anh thông minh sắc sảo trước tiên. Đấy là điều kiện cần, tối quan trọng.

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree