Littlewood’s conjecture (1930)

 

Just learned about the following conjecture of Littlewood (1930), which looks very simple and which is apparently still open:

Let a,b \in {\mathbb R} be two arbitrary real numbers. Denote by \langle x \rangle = \min_{m \in {\mathbb Z}} |x-m| . Then

\liminf_{n \to \infty} n \langle na \rangle \langle nb \rangle = 0

This conjecture is related to ergodic theory of SL(3, {\mathbb Z}). It is not difficult to show that the set of pairs of number which donot satisfy the above equality has Hausdorff measure equal to 0 (cf. Katok).

Print Friendly
 

3 comments to Littlewood’s conjecture (1930)

  • phamhungquy MonsterID Icon phamhungquy

    Anh có thể giải thích qua cho em độ khó của conjecture nay duoc không? em có một số câu hỏi?
    1. với mọi $x$, thì $\langle x \rangle < 1/2$?
    2 Tại sao lại dùng hai số $a, b$ mà không dùng một số $a$ vì nếu (1) đúng thì
    $$\liminf_{n \to infty} n \langle na \rangle \langle nb \rangle < \liminf_{n \to infty} n \langle na \rangle $$.
    3. Nếu $a$ (hoặc $b$) là số hữu tỉ, thì có vô hạn $n$ để $\langle na \rangle = 0$. Do đó $\liminf_{n \to infty} n \langle na \rangle \langle nb \rangle = 0$ là hiển nhiên?

  • admin MonsterID Icon admin

    Tôi thấy nó “ngộ ngộ” nên post lại thôi, chứ cũng không dám đụng vào conjecture đó. Chắc có nhiều người thử nhai nó “gẫy vài cái răng” rồi :D
    Trong công thức có nhân với n, mà vẫn tiến được tới 0, tức là phải chứng tỏ có dãy con của cái phần phía sau tiến tới 0 nhanh hơn 1/n.

    Tất nhiên, trong một số trường hợp thì công thức đó là hiển nhiên. Cái khó là chứng minh nó đúng trong tất cả các trường hợp, với mọi a và mọi b. Nếu bỏ b đi chẳng hạn, thì conjecture đó sai, vì có những số không thể xấp xỉ tốt bằng số hữu tỷ được.

  • admin MonsterID Icon admin

    Vấn đề xấp xỉ bằng số hữu tỷ gọi là vấn đề Diophantine.

    Ví dụ như, dễ thấy là tồn tại hằng số C sao cho
    |\sqrt{2} - p/q| > C/q^2
    với mọi xấp xỉ p/q của căn bậc hai của 2, tức là căn bậc 2 của 2 là phản ví dụ nếu bỏ đi b.

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree