Littlewood’s conjecture (1930)

Just learned about the following conjecture of Littlewood (1930), which looks very simple and which is apparently still open:

Let $a,b \in {\mathbb R}$ be two arbitrary real numbers. Denote by $\langle x \rangle = \min_{m \in {\mathbb Z}} |x-m|$. Then

$\liminf_{n \to \infty} n \langle na \rangle \langle nb \rangle = 0$

This conjecture is related to ergodic theory of $SL(3, {\mathbb Z}).$ It is not difficult to show that the set of pairs of number which donot satisfy the above equality has Hausdorff measure equal to 0 (cf. Katok).

3 comments to Littlewood’s conjecture (1930)

• phamhungquy

Anh có thể giải thích qua cho em độ khó của conjecture nay duoc không? em có một số câu hỏi?
1. với mọi $x$, thì $\langle x \rangle < 1/2$?
2 Tại sao lại dùng hai số $a, b$ mà không dùng một số $a$ vì nếu (1) đúng thì
$$\liminf_{n \to infty} n \langle na \rangle \langle nb \rangle < \liminf_{n \to infty} n \langle na \rangle$$.
3. Nếu $a$ (hoặc $b$) là số hữu tỉ, thì có vô hạn $n$ để $\langle na \rangle = 0$. Do đó $\liminf_{n \to infty} n \langle na \rangle \langle nb \rangle = 0$ là hiển nhiên?

$|\sqrt{2} - p/q| > C/q^2$