100 bài tập đại số tuyến tính (đề thi X & ENS)

By NTZung, on April 27th, 2012

(Đây là các đề thi nói môn đại số tuyến tính vào trường ENS và trường Polytechnique ở Pháp. Dành cho sinh viên năm thứ 2 đại học. Sẽ cho lên dần. Mỗi bài tôi sẽ khi mức độ khó / trung bình / dễ. Dễ tức là lời giải không quá 1 trang. Khó tức là lời giải phải mất vài trang cho 1 câu, đòi hỏi nhiều lý luận)

Bài 1. (Dễ) Giả sử A và B là hai ma trận nXn, và $a_1\hdots,a_{n+1}$ là các số khác nhau, sao cho $A + a_i B$ là ma trận lũy linh (nilpotent) với mọi $i=1,\hdots,n+1.$ CMR hai ma trận $A$ và $B$ cũng là ma trận lũy linh.

Bài 2. (Khó) Với mỗi số tự nhiên $n$ , hãy tìm số $k$ lớn nhất sao cho tồn tại một họ $k$ ma trận phức $n \times n$ khả nghịch $A_1,\hdots,A_k$ sao cho chúng phản giao hoán với nhau từng đôi một (tức là $A_i A_j = - A_j A_i$ với mọi $i \neq j$ ).

Bài 3. (Trung bình) Giả sử $A$ là một phần tử của $GL(2,{\mathbb Z})$ (nhóm các ma trận 2 nhân 2 có hệ số nguyên sao cho ma trận nghịch của nó cũng có hệ số nguyên). Gọi bậc của $A$ là số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho $A$ mũ n bằng ma trận đơn vị, hoặc nếu không tồn tại n như vậy thì bậc là vô cùng. CMR bậc của A bằng 1,2,3,4,6 hoặc vô cùng. CMR với mỗi số n bằng 2,3,4,6 hoặc vô cùng thì có vô số phần tử của $GL(2,{\mathbb Z})$ có bậc bằng n.

nguyenhung

October 9, 2012 at 8:14 am

Thầy có thể đưa lên tiếp không ạ ?
Hay nếu thầy có file thì cho em xin file được không ạ ?( Tiếng Pháp hay tiếng Anh thì tốt thầy ạ Mà được tiếng Việt thì dễ nhất .)
Em cảm ơn thầy .

admin

October 9, 2012 at 10:41 am

Cảm ơn bạn quan tâm

Tôi có sách in tiếng Pháp, muốn đưa lên thì phải đọc và dịch ra, mà hiện tại tôi ngại quá
Lúc nào nhờ được ai làm việc này thì sẽ có tiếp

Nguyễn Đức Hưng

November 30, 2012 at 12:53 pm

Nếu thầy có bản mềm thì thầy gửi cho em nhé. Em sẽ giúp sức thầy một phần .
Em đang ở Việt Nam nên không thể gặp thầy để mượn sách về đọc .

dtkien

January 10, 2013 at 12:55 pm

Thưa thầy, em muốn tham khảo một số đề thi vào École Polytechnique (ở các môn và các vòng khác nhau). Thầy có thể cho em xin bản mềm hoặc xin tên cuốn sách hoặc tài liệu để em cố gắng tìm trên mạng được ko ạ. Cảm ơn thầy nhiều.

January 11, 2013 at 1:23 am

dtkien:

Tôi chỉ có mấy tập sách in thôi, không có bản mềm. Chịu khó tra trên mạng (chẳng hạn trang web của ENS và X, phần
“admission”, theo tôi nhớ là người ta có để đó các đề bài từ một số năm trước)

ZetaMu

Hiến pháp

Tiêu Điểm

Feed Back

Meta

100 bài tập đại số tuyến tính (đề thi X & ENS)

5 comments to 100 bài tập đại số tuyến tính (đề thi X & ENS)

Leave a Reply Cancel reply

Mathematics

Economics

Links