100 bài tập đại số tuyến tính (đề thi X & ENS)

 

(Đây là các đề thi nói môn đại số tuyến tính vào trường ENS và trường Polytechnique ở Pháp. Dành cho sinh viên năm thứ 2 đại học. Sẽ cho lên dần. Mỗi bài tôi sẽ khi mức độ khó / trung bình / dễ. Dễ tức là lời giải không quá 1 trang. Khó tức là lời giải phải mất vài trang cho 1 câu, đòi hỏi nhiều lý luận)

Bài 1. (Dễ) Giả sử A và B là hai ma trận nXn, và a_1\hdots,a_{n+1} là các số khác nhau, sao cho A + a_i B là ma trận lũy linh (nilpotent) với mọi i=1,\hdots,n+1. CMR hai ma trận AB cũng là ma trận lũy linh.

Bài 2. (Khó) Với mỗi số tự nhiên n, hãy tìm số k lớn nhất sao cho tồn tại một họ k ma trận phức n \times n khả nghịch A_1,\hdots,A_k sao cho chúng phản giao hoán với nhau từng đôi một (tức là A_i A_j = - A_j A_i với mọi i \neq j).

Bài 3. (Trung bình) Giả sử A là một phần tử của GL(2,{\mathbb Z}) (nhóm các ma trận 2 nhân 2 có hệ số nguyên sao cho ma trận nghịch của nó cũng có hệ số nguyên). Gọi bậc của A  là số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho A mũ n bằng ma trận đơn vị, hoặc nếu không tồn tại n như vậy thì bậc là vô cùng. CMR bậc của A bằng 1,2,3,4,6 hoặc vô cùng. CMR với mỗi số n bằng 2,3,4,6 hoặc vô cùng thì có vô số phần tử của GL(2,{\mathbb Z}) có bậc bằng n.

Print Friendly
 

5 comments to 100 bài tập đại số tuyến tính (đề thi X & ENS)

  • nguyenhung MonsterID Icon nguyenhung

    Thầy có thể đưa lên tiếp không ạ ?
    Hay nếu thầy có file thì cho em xin file được không ạ ?( Tiếng Pháp hay tiếng Anh thì tốt thầy ạ Mà được tiếng Việt thì dễ nhất .)
    Em cảm ơn thầy .

  • admin MonsterID Icon admin

    Cảm ơn bạn quan tâm

    Tôi có sách in tiếng Pháp, muốn đưa lên thì phải đọc và dịch ra, mà hiện tại tôi ngại quá
    Lúc nào nhờ được ai làm việc này thì sẽ có tiếp

  • Nguyễn Đức Hưng MonsterID Icon Nguyễn Đức Hưng

    Nếu thầy có bản mềm thì thầy gửi cho em nhé. Em sẽ giúp sức thầy một phần .
    Em đang ở Việt Nam nên không thể gặp thầy để mượn sách về đọc .

  • dtkien MonsterID Icon dtkien

    Thưa thầy, em muốn tham khảo một số đề thi vào École Polytechnique (ở các môn và các vòng khác nhau). Thầy có thể cho em xin bản mềm hoặc xin tên cuốn sách hoặc tài liệu để em cố gắng tìm trên mạng được ko ạ. Cảm ơn thầy nhiều.

  • admin MonsterID Icon admin

    dtkien:

    Tôi chỉ có mấy tập sách in thôi, không có bản mềm. Chịu khó tra trên mạng (chẳng hạn trang web của ENS và X, phần
    “admission”, theo tôi nhớ là người ta có để đó các đề bài từ một số năm trước)

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree