Bài tập giải tích và đại số (9)

By NTZung, on January 29th, 2012

Một số bài liên quan đến chuỗi Fourier

Bài 41. Hãy tìm hằng số $C > 0$ nhỏ nhất có thể, sao cho với mọi đa thức lượng giác

$P(x) = \sum_{k=-n}^n c_k \exp(ikx)$

bậc nhỏ hơn hoặc bằng $n$ , trong đó $c_k$ là các số phức, ta đều có $\|P'\|_{\infty} \leq C \|P\|_\infty$ .

(Đáp số: $C = n$ và bất đẳng thức này mang tên Bernstein (1912) )

Gợi ý: dùng tính chất về không điểm của đa thức:

1) Đưa về trường hợp thực (nếu BĐS đúng trong trường hợp đa thức lượng giác thực, thì cũng đúng trong trường hợp hệ số phức)

2) CMR nếu P(x) mà có ít nhất 2n+1 không điểm khác nhau trên đoạn $[0,2\pi[$ thì P đồng nhất bằng 0.

3) Giả sử P là đa thức lượng giác thực. Xét hàm $g(x) = \|P'\|_\infty \sin(nx)/n - P(x)$ và các không điểm của $g,g',g''$ để CMR $\|P'\|_\infty \leq n \|P\|_\infty$

(Sử dụng định lý Rolles)

Bài 42. (Tổng Poisson) Giả sử f là một hàm khả vi vô hạn lần từ R vào C và tiến nhanh đến 0 tại vô cùng theo nghĩa $\lim_{x \to \pm \infty} x^m f^{(n)}(x) = 0$ với mọi $m,n \in \mathbb{Z}_+$ . Đặt

$\phi (x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f(x + 2\pi k)$

1) CMR $\phi$ tuần hoàn và khả vi vô hạn lần. Tính các hệ số Fourier của $\phi$

2) CMR

$\phi(x) = (1/2\pi) \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n) \exp(inx)$

trong đó

$\hat{f}(n) = \int_{\mathbb{R}} f(t) \exp(-int) dt$

3) Suy ra đẳng thức sau (gọi là công thức Poisson cho tổng tại các điểm nguyên):

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} f(2k\pi) = (1/2\pi) \sum_{n \in \mathbb{Z}}\hat{f}(n)$

Bài 43. (Định lý Fejer, 1904) Gọi f là một hàm liên tục và tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ . Đặc $S_n = \sum_{k=-n}^n c_k \exp(ikx)$ trong đó $c_k$ là các hệ số Fourier của f. Đặt