Bài tập giải tích và đại số (8)

By NTZung, on December 27th, 2011

Tiếp tục các bài về giải tích hàm

Bài 34. (Tính compact yếu của hình cầu đơn vị trong không gian Hilbert). Giả sử $H$ là một không gian Hilbert và giả sử có một dãy các vector vuông góc chuẩn hóa $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ trong $H$ (tức là tích ngoài của hai vector khác nhau trong dãy bằng 0, còn chuẩn của mỗi vector bằng 1) sao cho không gian vector sinh bởi $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ là trù mật trong $H$ . Gọi $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ là một dãy các điểm trong hình cầu đơn vị đóng của $H$ .

1. Chứng minh rằng tồn tại một dãy con $(x_{i_n})$ của dãy $(x_n)$ và một điểm $x^* \in H$ sao cho với mọi $y \in H$ ta có $\lim_{n \to \infty} \langle x_{i_n}, y \rangle = \langle x^*, y \rangle$ . Chứng minh rằng $\|x^*\| \leq 1$

2. Có thể nói gì nếu như $\|x^*\| = 1$ ?

Bài 35. (Căn bậc hai của toán tử dương). Giả sử $H$ là một không gian Hilbert thực, $\mathcal{L}_c(H)$ là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ $H$ và chính nó, với chuẩn của toán tử, và gọi $B$ là hình cầu đơn vị mở trong $\mathcal{L}_c(H)$ .

1. Giả sử $t \in B$ . Chức minh rằng ánh xạ $\phi: u \mapsto (u^2 +t) / 2$ từ $\mathcal{L}_c(H)$ vào chính nó có duy nhất một điểm bất động trong $B$ .

2. Giả sử $f \in \mathcal{L}_c(H)$ thỏa mãn $\langle f(x),x \rangle \geq a \langle x,x \rangle$ với mọi $x \in H$ , trong đó $a > 0$ là một hằng số. Chứng minh rằng tồn tại $g \in \mathcal{L}_c(H)$ thỏa mãn $g^2 = f$ và $\langle g(x),x \rangle \geq b \langle x,x \rangle$ với một hằng số $b > 0$ nào đó.

Bài 36. (Định lý Baire) Giả sử $(\Omega_n)$ là một dãy các tập mở trù mật trong một không gian Banach $E$ . Chứng minh rằng $\cap_n \Omega_n$ cũng trù mật trong $E$ .

2. Giả sử $(F_n)$ là một dãy các tập đóng có interior (phần bên trong ?) rỗng trong $E$ . Chứng minh rằng $\cup_n F_n$ cũng có interior rỗng.

Bài 37. (Định lý Banach-Steinhaus) Giả sử $E$ là một không gian Banach, $F$ là một không gian định chuẩn, và $(T_i)_{i \in I}$ là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ $E$ vào $F$ . Giả sử rằng, với mọi $x \in E$ , tập các điểm $\{T_i(x); i \in I\}$ là một tập bị chặn trong $F$ . Hãy chứng minh rằng họ $(T_i)_{i \in I}$ là bị chặn (tức là $\sup_{i \in I} \|T_i\| < \infty$ ).

Gợi ý cho bài 37: có thể dùng định lý Baire (bài 36).

Bài 38. (Bổ đề Croft). Giả sử $f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ là một hàm số liên tục, sao cho với mọi $x > 0$ ta có $\lim_{n \to \infty} f(nx) = 0$ . CMR $f$ tiến tới 0 tại $+ \infty$ .

Bài 39. (Điều kiện đủ để tồn tại ánh xạ ngược). Giả sử $f: H \to H$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên một không gian Hilbert $H$ thỏa mãn điều kiện $\langle f(x),x \rangle \geq \alpha \langle x, x \rangle$ với mọi $x \in H$ , trong đó $\alpha$ là một hằng số thực dương. Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ ngược $f^{-1}: H \to H$ cũng là một ánh xạ liên tục và nó thỏa mãn $\|f^{-1}\| \leq 1/\alpha$

Bài 40. (Các ánh xạ khả nghịch trái). Một ánh xạ tuyến tính liên tục $v: H \to H$ trên một không gian Hilbert $H$ được gọi là khả nghịch trái nếu như tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục $u: H \to H$ sao cho $u \circ v = Id$ . Ký hiệu $G(H)$ là tập các ánh xạ tuyến tính liên tục khả nghịch trái trên $H$ .

1. Chỉ ra các vị dụ ánh xạ khả nghịch trái. Chứng minh ánh xạ sau là khả nghịch trái trên $\ell^2(\mathbb{C})$ :

$(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \mapsto (0, x_1,x_2,\hdots)$

2. Giả sử $u: H \to H$ tuyến tính liên tục. CMR các điều kiện sau đây là tương đương:

a) $u$ khả nghịch trái

b) Tồn tại $C > 0$ sao cho $\|u(x)\| \geq C\|x\|$ với mọi $x \in H$

c) $Im u$ đóng và giới hạn của $u$ trên $Im u$ là đảo nghịch được và có ánh xạ ngược liên tục.

3. CMR $G(H)$ là tập mở trong $\mathcal{L}_c(H)$ (không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục trên $H$ ).

4. Gọi $T: \ell^2 \to \ell^2$ là ánh xạ tuyến tính định nghĩa bởi công thức $T ((x_n)) = (x_{n+1})$ (dich chuyển các hệ số sang phía trái một bước và bỏ đi hệ số đầu tiên). Hãy xác định tập hợp