Bài tập giải tích và đại số (7)

 

Một số bài tập về không gian Banach và không gian Hilbert, có trong chương trình thi vào X & ENS

Bài 30. Gọi E là không gian các dãy số thực bị chặn u= (u_n)_{n \in \mathbb{N}} với chuẩn là \|u\| = \sup_n |u_n|.

1. Chứng minh rằng không gian vector định chuẩn E là đầy đủ (không gian Banach)

2. Có tồn tại hay không một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi trong E ?

Bài 31. Đặt E = \mathbb{R}[X] (không gian các đa thức với hệ số thực), và

N(P) = \sum_{k=0}^\infty {|P^{(k)}(0)| \over k!}

với mọi P \in E

1. Chứng minh rằng N là một chuẩn trên E

2. Đặt P_n(X) = \sum_{k=1}^n X^k/k^2. Chứng minh rằng chuỗi (P_n)_{n\geq 1} là một chuỗi Cauchy trong (E,N). Chuỗi đó có hội tụ trong (E,N) không ?

3. Phép lấy đạo hàm có phải là ánh xạ liên tục trên (E,N) không ?

4. Đặt \psi_n(P) = P^{(n)}(0) với mỗi P \in E. Chứng minh rằng \psi_n là phiến hàm tuyến tính liên tục, và hãy tính chuẩn của nó.

5. Ta ký hiệu P \prec Q (đọc: P đứng trước Q) nếu \psi_n(P) \leq \psi_n(Q) với mọi số nguyên không âm n. Giả sử P \prec Q là hai đa thức thực cho trước. Đặt

Z = \{ R \in E; P \prec R \prec Q\}

Chứng minh rằng Z là một tập compact.

Bài 32. Giả sử E là một không gian Banach, và \Omega là một tập mở bị chặn không rỗng trong E thỏa mãn tính chất sau: với hai điểm x,y \in \Omega bất kỳ, tồn tại một hình cầu mở B trong \Omega chứa xy. Chứng minh rằng \Omega là một hình cầu mở.

Bài 33 (không gian Banach tách được). Giả sử X là một không gian Banach thực, và giả sử tồn tại một dãy  điểm (x_n) trù mật khắp nơi trong hình cầu đơn vị đóng B của X.

Gọi \ell^1 là không gian các dãy số thực a= (a_n) với chuẩn \|a\|_1 = \sum_n |a_n| < \infty. Gọi \phi là ánh xạ từ \ell^1 vào X cho bởi công thức

\phi(a) = \sum_n a_n x_n

1. Chứng minh rằng \phi định nghĩa như phía trên là tồn tại (well-defined) và liên tục

2. Chứng minh rằng \phi là toàn ánh

3. Định nghĩa chuẩn trên không gian thương \ell^1/ \ker \phi như sau: N(\bar{a}) = \inf_{b \in \bar{a}} \|b\|_1. Ở đây \bar{a} tức là lớp các phần tử trong \ell^1 mà congruent với a modulo \ker \phi. Hãy kiểm tra rằng (\ell^1/ \ker \phi, N) là một không gian định chuẩn, và chứng minh rằng nó đẳng cấu (isometric) với X.

Print Friendly
 

11 comments to Bài tập giải tích và đại số (7)

  • Rooney MonsterID Icon Rooney

    Ta chứng minh B(x,r)=\Omega. Giả sử y\in B(x,r) và $latx \epsilon>0$ sao cho \Vert x-y\Vert < r-2\epsilon.x_j\rightarrow xr_j\uparrow r, nên tồn tại j\in \N sao cho
    $\Vert x_j-x\Vert <\epsilon, r-r_j<\epsilon.$
    Khi đó ta có
    $\Vert y-x_j\Vert \leq \Vert y-x\Vert + \Vert x-x_j\Vert <r-2\epsilon+\epsilon0 nhỏ tùy ý. Đặt
    $\alpha=\frac{r-\epsilon}{\Vert x-y\Vert}, z=(\alpha+1)x-\alpha y.$
    Khi đó z\in B(x,r)\subset \Omega.y,z , là hai điểm thuộc \Omega nên cùng với cách chọn z ở trên ta có $(\alpha+1)\Vert x-y\Vert=\Vert y-z\Vert <2r.$
    Từ đó kéo theo \Vert x-y\Vert 0. Như vậy \Vert x-y\Vert\leq r. Do đó, $\Omega\subset \bar{B}(x,r),$ và vì $\Omega$ là tập mở nên phải có \Omega\subset B(x,r).

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree