Exercices d’algèbre linéaire (DM3/2011)

(Devoir Maison No. 3, Licence 2 en Mathématiques, Novembre 2011)

Exercice 1. (Somme de carrés des coefficients). Soit (E, \langle.,.\rangle) un espace euclidien de dimension n, et soit \phi \in End(E).

1) Montrer que, si (e_i) et (f_k) sont deux bases orthonormales de E, alors
\sum_{i=1}^n \|\phi(e_i)\|^2 = \sum_{i=k}^n \|\phi^* (f_k)\|^2

En déduire que la quantité \sum_{i=1}^n \|\phi(e_i)\|^2 est indépendante de la base orthonormale choisie.

(Indication: utiliser la formule \|x\|^2 = \sum_i \langle x,  e_i \rangle^2 = \sum_k \langle x, f_k \rangle^2).

2) Soit A = (a_{ij})_{i = 1,\hdots,n}^{j = 1,\hdots,n} une matrice réelle symétrique, et \lambda_1,\hdots, \lambda_n ses valeurs propres, comptés avec leur multiplicité. Montrer que

\sum_{1 \leq i,j \leq n} a_{ij}^2 = \sum_{i=k}^n \lambda_k^2

Exercice 2. (Décomposition polaire).  Soit (E, \langle.,.\rangle) un espace euclidien. Un endomorphisme symétrique  \phi de E est dit défini positif si pour tout x \in E, x \neq 0  on a \langle \phi(x), x \rangle > 0. Notons S(E) l’ensemble des endomorphismes symétriques de E, et S^{++}(E) l’ensemble des endomorphismses définis positifs.

1) Soit \phi \in S(E). Montrer que \phi \in S^{++}(E) si et seulement si toutes les valeurs propres de \phi sont strictement positives.

2) Soient \phi \in S^{++}(E) , \gamma_1, \hdots, \gamma_p ses valeurs propres positives distinctes,  et E_i = \ker (\phi - \gamma_i Id_E). On définit \psi_i(x) = \sqrt{\gamma_i} x si x \in E_i et \psi_i(x) =0 si  x \in E_i^{\perp}. On note enfin \psi = \psi_1 + \hdots + \psi_p. Montrer que \psi^2 : = \psi \circ \psi = \phi, et que \psi est symétrique défini positif.

3) Soit \zeta un autre endomorphisme symétrique défini positif de $E$ tel que \zeta^2 = \phi.
a) Montrer que \zeta\psi = \psi \zeta.
b) En déduire que \zeta(E_i) = E_i pour tout i = 1, \hdots, p.
c) Montrer que la restriction de \zeta sur E_i coincides avec la restriction de \psi sur E_i.
d) En déduire que \zeta = \psi (c.a.d., tout morphisme symétrique défini positif admet une unique racine carrée dans S^{++}(E))

4) Soit f \in GL(E) (c.à.d. f \in End(E) inversible).
a) Montrer que f^* \circ f \in S^{++} (E)
b) Soit g la racine carrée de f^* \circ f dans S^{++} (E). Montrer que f \circ g^{-1} \in O(E).
c) En déduire que tout endomorphisme inversible f de E se factorise de façon unique comme composition d’un endomorphisme orthogonal de E avec un endomorphisme symétrique défini positif de E: il existe un unique couple (h,g) \in O(E) \times S^{++}(E) tel que f = h \circ g. (Cette factorisation s’appelle la décomposition polaire de f).

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