Rủi ro tín dụng (2): Mô hình KMV

 

KMV là viết tắt tên của 3 người: Stephen Kealhofer, John McQuown and Oldrich Vasicek. Ba ông này thành lập ra công ty KMV vào năm 1989 về quản lý rủi ro, và phát triển mô hình KMV trong những năm 1990. Hiện tại KMV do công ty Moody’s nắm giữ. Đây là một mô hình được giới tài chính dùng rất phổ biến: vào năm 2004 có 40 trong số 50 tập đoàn tài chính lớn nhất thế giới có đăng ký sử dụ mô hình này. Về mặt lý thuyết thì nó là mở rộng không có gì phức tạp lắm của mô hình Merton, nhưng sức mạnh của nó nằm ở công cụ tính toán thực nghiệm và testing dựa trên một cơ sở dữ liệu lớn của KMV.

Đại lượng trọng điểm trong mô hình KMV là xác suất vỡ nợ, gọi là EDF (expected default frequency). EDF là xác suất (theo các con số thực tế) mà một công ty sẽ vỡ nợ (default) trong vòng 1 năm theo phương pháp tính toán của KMV.

Trong mô hình Merton, thì vỡ nợ xả ray trong trường hợp V_1 < B (tức là giá trị tài sản của công ty sau 1 năm nhỏ hơn số tiền phải trả sau 1 năm), và xác suất để điều đó xảy ra  là:

EDF_{Merton} = 1 - \Phi(\frac{\ln V_0 - ln_B + \mu_V - (1/2)\sigma_V^2}{\sigma_V})

với giả sử giá trị tài sản V_t của công ty thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên

dV_t = V_t \mu_V + \sigma_V V_t dW_t

Ở đây \Phi là hàm phân phối xác suất toàn phần của phân bố normal chuẩn tắc.

Trong mô hình KMV, thì EDF có cấu trúc tương tự như là trong mô hình Merton, thế nhưng hàm EDF này được tính bằng các dữ liệu thực nghiệm thay vì tính qua công thức sử dụng phân bố normal chuẩn tắc và volatility.

Ước lượng giá trị tài sản

Một điểm khác biệt nữa của mô hình KMV so với Merton là, trong mô hình KMV, đại lượng V_0 (giá trị tại sản của công ty tại thời điểm ban đầu) không được coi là có thể quan sát trực tiếp được (vì các con số trong sổ sách kế toán nhiều khi không phản ánh được đúng giá trị), mà nó được ước lượng thông qua giá trị của các đại lượng khác, như là equity S_t của công ty, là thứ dễ đánh giá hơn (equity đánh giá theo market cap của công ty trên thị trường chứng khoán !). Phương pháp KMV để ước lượng V_t từ S_t là dùng phép lặp (iteration).

Ví dụ, theo mô hình Merton, ta có thể viết S_t như là một hàm số:

S_t = C_{BS} (t, T, r, B, \sigma_V, V_t)

(C_{BS} là giá cả call kiểu Âu tính theo công thức Black-Scholes)

Giả sử ta đã biết S_t (cho một khoảng thời gian nào đó). Để tính ngược lại được V_t theo công thức trên thì cần biết thêm \sigma_V. Nhưng ta chưa biết \sigma_V bằng bao nhiêu, nên ta bắt đầu bằng một đại lượng \sigma nào đó, lắp vào công thức trên tính ra được các giá trị của V, rồi tính ra được \sigma mới (= volatility thực nghiệm) theo các đại lượng đó của V, lắp \sigma mới đó vào công thức, ta lại được một dãy giá trị mới của V, rồi cứ tiếp tục như vậy. (Phương pháp iteration này tương tự như phương pháp Newton để tìm nghiệm của phương trình; ở đây ta phải tìm được sigma sao cho V tương ứng có độ lệch chuẩn thực nghiệm đúgn bằng sigma).

Phương trình dùng trong thực tế phức tạp hơn là phương trình theo công thức Black-Scholes phía trên, vì cấu trúc của các công ty trong thực tế phức tạp hơn nhiều là chỉ có 1 khoản nợ như là trong mô hình Black-Scholes, nhưng cách tính vẫn là như vậy, dùng iteration để giải phương trình hàm ẩn và tính ra \sigma_VV_t.

Tính EDF

Sau khi đă tính được V_0\sigma_V, mô hình KMV thiết lập một đại lượng sau, gọi là distance to default (DD — khoảng cách đến vỡ nợ):

DD := (V_0 - \tilde{B})/(\sigma_V V_0)

Ở đây \tilde{B} không phải là toàn bộ số nợ của công ty, mà chỉ là default threshold, tức là số nợ ảnh hưởng đến việc vỡ nợ trong 1 năm, trong 1 năm nếu khôn trả được số tiền đó thì vỡ nợ.

Ý tưởng của KMV là có thể coi EDF như là hàm của DD: nếu DD càng lớn thì xác suất vỡ nợ trong 1 năm càng thấp. Hàm này được tính từ thự nghiệm (bằng số hãng có cùng DD bị default trong 1 năm chia cho tống số hãng có cùng DD)  dựa trên cơ sỡ dữ liệu của KMV.

Ví dụ.

Ví dụ này là về công ty Philip Morris vào năm 2001, lấy từ Crosbie & Bohn (2002) (có trên trang web www.kmv.com)

Market value of equity S_0: 111680 (triệu USD) (market cap theo giá thị trường)

Overall book liabilities B: 64062 (từ sổ sách kế toán)

Market value of assets V_0: 170558

Volatility sigma_V: 0.21

(hai đại lượng này tính theo phương pháp iteration của KMV)

Default threshold: 47499 (nợ phải trả trong 1 năm)

DD: 3.5

EDF (1 năm): 0.25%

(có nghĩa là tính theo thực nghiệm, thì các công ty có DD= 3.5 sẽ có EDF = 0.25%)

Bài tập:

Vì sao trong ví dụ trên ta có V_0 < S_0 + B ?

Câu hỏi thắc mắc:

Tại sao KMV lại tính DD như trên, mà không phải là chia cho \tilde{B} thay vì chia cho V_0 có phải hợp lý hơn không ?! Tức là tại sao không dùng công thức

DD = (V_0 - \tilde{B})/(\sigma_V \tilde{B}) ?!

Print Friendly
 

5 comments to Rủi ro tín dụng (2): Mô hình KMV

  • Trong công thức sau:
    dV_t = V_t \mu_V + \sigma_V V_t dW_t ,
    W_t là gì ạ?

  • admin MonsterID Icon admin

    đáy là quá trình Wiener

  • Du MonsterID Icon Du

    Theo bài này thì cần 1 phương trình nữa nối volatility của giá stock với volatily của giá trị V của hãng. Vì có 2 phương trình nên giải được 2 biến V và \sigma V.
    http://www-personal.umich.edu/~shumway/papers.dir/fenkmvmerton1.pdf

    Lý do Distant to Default định nghĩa như trên vì EDF có thể tính đơn giản là N(-DD) ( phương trình 7 trong bài trên.)

    Vasicek có một công thức tường minh cho phân bố lỗ cho một quỹ nợ, được dùng trong Basel II nhiều:
    http://www.moodyskmv.com/research/files/wp/Limiting_Loan_Loss_Probability_Distribution.pdf
    http://www.moodyskmv.com/conf04/pdf/papers/dist_loan_port_val.pdf
    Bề ngoài thì chỉ là một phép đổi biến rồi áp dụng central limit – nhưng là một công thức tườmg minh, tách biệt tác dụng / giới hạn của diversification trong quỹ nợ nên rất hay.

  • Du MonsterID Icon Du

    Tôi nói sai ở đoạn trên. Nếu giả sử 0 drift, thì phương trình cho DD từ Black Scholes (T=1) là ln(V/B) / (\sigma V), và xấp xỉ theo (V/B-1)/(\sigma V) hay (V/B-1)/(V/B) / (\sigma V) đều ổn cả. Vậy lý do có lẽ là emphirical hơn là theoretical.

  • Du MonsterID Icon Du

    Có thể cách lý giải này thuận hơn: Ta biết cổ phiếu không theo Brownian hình học, giá trị hãng có lẽ cũng vậy. Có những họ các quá trình đi từ Brownian hình học tới Brownian số học, tùy theo vài tham số (chẳng hạn SABR model)
    Xét trường hợp V là Brownian số học. Khi đó đơn giản xác suất vỡ nợ là N( -DD) với DD là (V-B)/ phương_sai_số_học của V. phương_sai_số học có thể xấp xỉ là phương_sai_hình học * V (trên cùng 1 lượng dữ liệu, phương sai của \Delta V/V, còn phương_sai số học là phương sai của (\Delta V)\.
    Vậy cách chọn DD này ngầm chấp nhận mô hình Brownian số học ?

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree