Rủi ro tổng hợp: độ đo rủi ro nhất quán

(Bài này tóm tắt một số ý trong Chương 6 của sách McNeil/Frey/Embrechts về quản lý rủi ro).

Rủi ro tổng hợp (aggregate risk) được hiểu ở đây là rủi ro của một portfolio (rổ tài sản và vay nợ), ở đây gọi là tài khoản, tổng hợp lại từ các rủi ro của các thành phần của tài khoản đó. Ví dụ như một công ty (có các assets và liabilities), một ngân hàng, hay một người đầu tư (giữ nhiều loại chứng khoán khác nhau, và có thể vay tiền của công ty chứng khoán).

Đối với người kiểm soát rủi ro, nếu như rủi ro của tài khoản  mà lớn (có thể thua lỗ nhiều trong các tình huống xấu), thì đòi hỏi equity của tài khoản cũng phải lớn tương ứng, lớn hơn một mức tối thiểu bắt buộc nào đó. Có thể hình dùng là mức tối thiểu đó là “risk money” mà người giữ tài khoản cần bỏ vào tài khoản để làm đảm bảo, vì nếu equity của tài khoản ở dưới mức đó thì dễ có nguy cơ phá sản và gây thiệt hại đến các đối tác.Ví dụ, đối với ngân hàng thì có mức dự trữ bắt buộc, đối với tài khoản đầu tư chứng khoán ký gửi ở công ty chứng khoán mà được phép vay và short sale thì có mức “margin requirement”.

Tuy mỗi nơi có một cách tính khác nhau cho mức equity thấp nhất chấp nhận được (ứng với mỗi rổ tài sản), nhưng nói chung cách tính nào cũng phải thỏa mãn một số tính chất nhất quán. Từ đó nảy sinh khái niệm độ đo rủi ro nhất quán (coherent risk measure). Khái niệm này được định nghĩa hình thức toán học trong bài báo sau, vào năm 1999: Artzner, Philippe; Delbaen, Freddy; Eber, Jean-Marc; Heath, David (1999). “Coherent Measures of Risk” (pdf). Mathematical Finance 9 (3): 203–228. http://www.math.ethz.ch/~delbaen/ftp/preprints/CoherentMF.pdf.

Ý tưởng về độ đo rủi ro nhất quán như sau:

Giả sử ta có một tài khoản gồm một rổ các tài sản có rủi ro và nợ. Như vậy tài khoản có khả năng bị thua lỗ vào một thời điểm tương lai nào đó. Ta sẽ thiết lập một biến ngẫu nhiên L = L(V) (trên một mô hình không gian xác suất các tình huống có  thể xảy ra) cho mức lỗ của tài khoản (qui ước ở đây là khi lỗ thì giá gị của L là số dương, còn khi lãi thì nó là số âm, tức là L là âm của biến lãi).

Với mỗi biến ngẫu nhiên L dạng “độ  lỗ của 1 tài khoản trong các tình huống” như trên, ta muốn xác định được một số \rho(L) nào đó, là equity tối thiểu chấp nhận được của tài khoản. Nếu với mỗi L ta xác định được \rho(L) trên một tập hợp \mathcal{M} các biến ngẫu nhiên dạng “độ lỗ của một tài khoản”,  thì tức là ta có một hàm số \rho trên tập hợp \mathcal{M} đó. Nếu như equity của tài khoản mà vượt quá \rho(L), thì có thể hiểu như là  tài khoản đang “thừa margin” và có thể rút bớt một phần tiền ra khỏi tài khoản vẫn chấp nhận được. Còn nếu equity thấp hơn \rho(L) thì tài khoản không chấp nhận được, và sẽ bị người kiểm soát rủi ro yêu cầu rót thêm tiền vào hoặc bán bớt tài sản trong tài khoản đi cho đến khi đạt yêu cầu.

Người ta giả sử \mathcal{M} là một tập hình nón lồi (tức là nếu L_1L_2 thuộc \mathcal{M}a,b là hai số dương thì a L_1 + b L_2 cũng thuộc \mathcal{M}, vì ta hình dung là có thể tạo một tài khoản mà biến “độ lỗ” của nó chính bằng a L_1 + b L_2). Một hàm \rho: \mathcal{M} \to \mathbb{R} như trên được gọi là một độ đo rủi ro nhất quán (coherent risk measure) nếu nó thỏa mãn 4 tiên đề sau:

Tiên đề 1. (Translation invariance). Nếu l là một hằng số thì

\rho(L+ l) = l + \rho(L)

Ý nghĩa của tiên đề này khá hiển nhiên: nếu biết chắc chắn sẽ bị lỗ thêm một khoản l nữa, thì phải bỏ thêm một lượng tiền l vào tài khoản để bù lại. (Ở đây lãi suất bị bỏ qua ?!)

Tiên đề 2. (Subadditivity). Với L_1, L_2 \in \mathcal{M} tùy ý ta có

\rho(L_1 + L_2) \leq \rho(L_1) + \rho(L_2)

Ý nghĩa tiên đề này cũng khá hiển nhiên: nếu ta có 2 tài khoản đề thỏa mãn yêu cầu về margin, và ta gộp lại coi chúng như là 1 tài khoản gồm 2 phần, thì tài khoản gộp lại như vậy cũng thỏa mãn yêu cầu về margin.

Tiên đề 3. (Positive homogeneity). Nếu a >0 là một hằng số thì

\rho(aL) = a \rho(L)

Ý nghĩa của nó, nói một cách nôm na, là nếu ta nhân đôi tài khoản lên, thì độ rủi ro cũng tăng lên gấp đôi, và do đó yêu cầu về margin cũng tăng gấp đôi.

Tiên đề 4. (Monotonicity). Nếu L_1 \geq L_2 (trong hầu hết mọi tình huống), thì ta cũng có

\rho(L_1) > \rho(L_2)

Ý nghĩa của tiên đề 4 cũng khá hiển nhiên.

Khi cả 4 tiên đề trên được thỏa mãn thì người ta gọi \rho là một độ đo rủi ro nhất quán. Ví dụ như, cách tính margin requirement của công ty chứng khoánvới các nhà đầu tư có thể coi là một độ đo rủi ro nhất quán.

Ghi chú:

Tiên đề 3 không hợp với thực tế trong trường hợp a là số rất lớn, bởi vì những tài khoản chứng khoán rất lớn có rủi ro về thanh khoản (khá năng mua/bán được với giá thị trường) cao hơn so với tài khoản nhỏ, bởi vậy có thể cần điều chỉnh thành bất đẳng thức \rho (aL) \geq a \rho(L) khi a > 1 là hẳng số.

Expected shorfall:

Dễ thấy là value at risk (VaR) không phải là một độ đo rủi ro nhất quán, bởi vì đối với các loại tài sản mà xác suất xảy ra rủi ro là thấp (nhưng khi xảy ra thì tai hại cao) ví dụ như là các trái phiếu có xác suất vỡ nợ thấp, thì VaR không phản ánh được đúng rủi ro. Thế nhưng expected shortfall thì là một độ đo rủi ro nhất quán.

Nhắc lại định nghĩa của expected shortfall: Expected shortfall, với độ tin tưởng \alpha, là kỳ vọng có điều kiện về độ lỗ, điều kiện ở đây là tình huống xảy ra nằm trong 1- \alpha các tình huống xấu nhất (tức là độ lỗ trung bình trong số 1- \alpha các tình huống xấu nhất). Công thức toán học là:

ES_\alpha = \mathbb{E}(L | L \geq VaR_\alpha) = (1/(1-\alpha)) \int_{\alpha}^1 VaR_u du

Dễ thấy expected shortfall thỏa mãn tiên đề về subadditivity. (Chữ \mathbb{E} có nghĩa là giá trị kỳ vọng).

Độ đo kiểu bảo hiểm:

Trong bảo hiểm, thì tiền phải đóng bảo hiểm (premium) tương tự như là một thứ coherent risk measure. Các nguyên tắc về premium trong bảo hiểu đã có từ lâu trước khi xuất hiện khái niệm coherent risk measure.

Fischer (2003) để cử ra một họ các coherent risk measure dựa trên ý tưởng tiền đóng bảo hiểm như sau. Lấy hai hằng số p > 10 \leq \alpha < 1, và đặt

\rho_{p,\alpha}(L) = \mathbb{E}(L) + \alpha \|(L - \mathbb{E}(L))^+\|_p

trong đó \|.\|_p có nghĩa là chuẩn L^p (căn bậc p của moment tuyệt đối bậc p) của biến ngẫu nhiên.

Khi đó \rho_{p,\alpha} là một độ đo rủi ro nhất quán.

Các kịch bản mở rộng (generalized scenarios):

Có thể xây dựng các độ đo rủi ro nhất quán dựa trên các kịch bản mở rộng. Các độ đo này được gọi là scenario-based risk measures. Chúng được dùng trên Chicago Mercantile Exchange (thị trường commodities).

Một kịch bản mở rộng ở đây hiểu là một phân bố xác suất trên không gian các tình huống có thể xảy ra. Giả sử ta có một tập \mathcal{P} các phân bố xác suất khác nhau. (Lúc thì ta coi tình huống này dễ xảy ra hơn, lúc thì ta lại coi tình huống kia dễ xảy ra hơn, …). Khi đó ta có thể định nghĩa một độ đo rủi ro nhất quán như sau:

\rho_{\mathcal{P}}(L) = \sup \{\mathbb{E}_P (L); P \in \mathcal{P}\}

Chúng ta có định lý sau, cho thấy tầm quan trọng của việc sử dụng các kịch bản mở rộng:

Định lý: Với mọi tập \mathcal{P} các phân bố xác suất, hàm \rho_{\mathcal{P}} là một độ đo rủi ro nhất quán. Hơn nữa, trong trường hợp mà không gian các tình huống là hữu hạn, thì mọi độ đo rủi ro nhất quán \rho đều có dạng \rho = \rho_{\mathcal{P}} với một tập các phân bố xác suất \mathcal{P} nào đó.

Print Friendly

Leave a Reply

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

  

  

  

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.