Phân bố giá trị cực trị

Đây là một phần đầu của lý thuyết các giá trị cực trị (extreme value theory) trong quản lý rủi ro, hay còn có thể gọi là lý thuyết các biến cố hiếm (những biến cố ít xảy ra nhưng khi xảy ra thì gây thiệt hại rất lớn).

Ta đã biết rằng, theo định lý giới hạn trung tâm, nếu X_1,   \hdots, X_n là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố xác suất (viết tắt là i.i.d.), thì tống chuẩn hóa (\sum_1^n X_i - n\mu)/   \sqrt{n} \sigma sẽ tiến tới phân bố normal chuẩn tắc khi n tiến tới vô cùng. Ở đây \mu\sigma là kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X_1.

Một câu hỏi đặt ra tương tự, không phải cho tổng chuẩn hóa của các X_i, mà là cho giá trị cực đại của chúng:

M_n = \max (X_1,\hdots, X_n)

Có tồn tại chăng các hệ số a_n, b_n nào đó sao cho phân bố xác suất của (M_n -a_n)/b_n tiến tới một giới hạn không suy biến nào đó khi n tiến tới vô cùng ? Giới hạn đó, nếu tồn tại, được gọi là một phân bố xác suất giá trị cực trị suy rộng (generalized extreme value distribution, viết tắt là phân bố GEV), hay ta sẽ gọi một cách ngắn gọn ở đây là phân bố giá trị cực trị, hay GEV.

Câu trả lời được cho bởi định lý sau của Fisher-Tippet (1928, trường hợp riêng) và Gnedenko (1941-43, trường hợp tổng quát):

Định lý (Fisher-Tippet-Gnedenko): Các phân bố GEV là các phân bố mà hàm phân bố toàn phần có dạng sau:

H_\xi (x) = \exp ( - (1+ \xi x)^{-1/\xi} (với \xi \neq   0)

hoặc

H_0(x) = \exp ( - e^{-x}) (khi \xi =  0),

và các rescaling tuyến tính của chúng (phép thay một biến ngẫu nhiên Ybằng một biến ngẫu nhiên dạng cY + d, và phép biến đổi phân bố xác suất tương ứng).

Phân bố H_0 gọi là phân bố Gumbel, phân bố   H_{\xi} với \xi > 0 gọi là phân bố Fréchet, và phân bố H_{\xi} với \xi < 0 gọi là phân bố Weibull.

Định lý trên  thuộc nhóm các định lý giới hạn trong xác suất. Ý nghĩa của phân bố GEV như sau: nếu ta hình dung chẳng hạn X_i là các khoản rủi ro khác nhau (ví dụ như là các khoản mà công ty bảo hiểm phải trả khi tai nạn xảy ra), thì M_n là khoản rủi ro lớn nhất, và phân bố GEV là phân bố tiệm cận cho rủi ro lớn nhất đó.

Ví dụ (bài tập): Giả sử X_1 có phân bố Pareto với các tham số \alpha,\kappa > 0. Hàm phân bố toàn phần của  X là: F(x) = 1 - (\kappa/(\kappa+x))^\alpha. Khi đó phân bố GEV tương ứng chính là H_{1/\alpha}.

(xem tiếp trang sau)

Print Friendly

Pages: 1 2 3

Leave a Reply

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

  

  

  

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.