Độ vượt mức giới hạn (quản lý rủi ro)

Đây là tiếp theo của lý thuyết các biến cố hiếm (extreme value theory). Phần trước chúng ta điểm qua các phân bố giá trị cực trị. Phần này nói về độ vượt mức giới hạn (threshold exceedances)

Vấn đề được bàn ở đây là: giả sử tình huống xấu xảy ra, dẫn đến thiệt hai cao quá một mức giới hạn nào đó. Khi đó nó sẽ cao quá mức giới hạn là bao nhiêu, tức là độ vượt mức giới hạn của nó sẽ là bao nhiêu ? Ta cần đánh giá được kỳ vọng của độ vượt mức giới hạn đó, để có biện pháp thích ứng trong qui trình quản lý rủi ro.

Các phân tích thống kê thực nghiệm cho thấy, hiện tượng thường xảy ra là: khi mà thiệt hại vượt một ngưỡng nào đó, thì thường vượt xa ngưỡng đó rất nhiều, chứ không chỉ “ngấp nghé” vượt trên ngưỡng một ít. Tức là trong trường hợp thiệt hại nặng, thì sẽ nặng hơn nhiều so với là ngưỡng thiệt hại nặng ! Điều này cho thấy cần xác định phân bố xác suất của rủi ro (có điều kiện) sao cho hợp lý, không thì đánh giá về rủi ro sẽ bị thấp hơn nhiều so với thực tế.

Ví dụ: Một trader của Société Générale buôn bán chứng khoán trái phép làm thiệt hại nặng cho SG. Đến khi phát hiện ra vào đầu năm 2008, thì thiệt hại đã lên đến mức khổng lồ, gần 5 tỷ Euro, lớn hơn rất nhiều lần ngưỡng cho phép.

Quay lại lý thuyết, giả sử ta có F là hàm phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên X (độ thiệt hại) nào đó. Với mỗi một mức u \in \mathbb{R} ta đặt

F_u(x) = P(X - u \leq x | X > u) = (F(x+u) - F(u))/ (1 - F(u)) cho 0 \leq x < x_F - u

Có nghĩa là F_u là hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên có điều kiện “độ thiệt hại vượt mức giới hạn  u” khi mà thiệt hại vượt mức giới hạn u nào đó. Phân bố F_u được gọi là phân bố vượt ngưỡng u (excess distribution over threshold u)

Hàm độ vượt ngưỡng trung bình (mean excess function) là:

e(u) = \mathbb{E}(X-u | X > u), tức là giá trị kỳ vọng của phân bố F_u.

Câu hỏi đặt ra là: dùng mô hình phân bố nào cho F_u là hợp lý ? (Trong các huống cụ thể, ta không biết F_u thực ra là hàm nào, mà chỉ biết được một vài thông tin, qua đó lựa chọn mô hình F_u mà ta cho là hợp lý nhất). Định lý sau của Pickands (1975) và Balkema & de Haan (1974) cho phép dùng các phân bố gọi là phân bố Pareta tổng quát (generalized Pareto distributions, GPD) như là mô hình tiệm cận của F_u:

Định lý (Pickands-Balkema-de Haan): Tồn tại một hàm \beta(u) thỏa mãn công thức tiệm cận

\lim_{u \to x_F} \sup_{0 \leq x < x_F-u} |F_u(x) - G_{\xi,\beta(u)}(x)| = 0

khi và chỉ khi F \in MDA(H_\xi)\xi \in \mathbb{R}.

Ở đây

G_{\xi,\beta} = 1 - (1 + \xi x/\beta)^{-1/\xi} nếu \xi \neq 0

G_{\xi,\beta} = 1 - \exp(- x/\beta) nếu \xi = 0

là các hàm phân phối xác suất của họ phân bố xác suất (có hai tham số \xi,\beta) gọi là các phân bố Pareto suy rộng (generalized Pareto distributions), còn H_\xi là hàm phân phối xác suất của phân bố giá trị cực trị (generalized extreme value distributions, xem phần viết về các phân bố giá trị cực trị).

(xem tiếp trang sau)

Print Friendly

Pages: 1 2

Leave a Reply

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

  

  

  

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.