Quá trình Ornstein-Uhlenbeck

Quá trình Ornstein-Uhlenbeck (OU), hay còn được gọi là mean reverting process, là một quá trình ngẫu nhiên được dùng trong một số mô hình trong sinh học và tài chính (ví dụ như quá trình lãi suất). Tôi viết tóm tắt lại đây về quá trình này.

Nó là quá trình thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên:

dX_t = \theta (\mu - X_t)dt + \sigma dB_t

trong đó \theta > 0, \sigma > 0, \mu là các tham số (hằng số), còn B_t là chuyển động Brown chuẩn tắc (quá trình Wiener).

Tham số \sigma ở đây là độ giao động ngẫu nhiên,  \mu  là “đại lượng trung bình”. \theta là “hệ số ma xát” (friction) khiến cho chuyển động chậm dần lại (tiến về phía điểm trung bình \mu) đối ngược với phần “phát tán” ngẫu nhiên $\sigma dB_t$.

Nếu đặt Y_t = (X_t - \mu) thì ta được một quá trình tiến về 0, và thỏa mãn phương trình

dY_t = - \theta Y_t dt + \sigma dB_t

Nếu mà \sigma = 0 (tức là bỏ qua phần nhiễu trắng) thì đây là phương trình vi phân bậc 1 rất đơn giản, với nghiệm dạng Y(t) = C. \exp(-\theta t), bị hút về 0 khi t tiến đến vô cùng.

Quá trình OU có thể được viết lại như là quá trình Wiener được điều chỉnh và thay đổi thời gian. Nói cách khác, có thể viết nghiệm của phương trình phía trên như sau:

X_t = \mu + {\sigma \over \sqrt{2\theta}} W(\exp(2\theta t)) \exp(-\theta t)

Phân bố tiệm cận của X_t khi t tiến đến vô cùng là phân bố chuẩn có kỳ vọng là \mu và độ lệch chuẩn là {\sigma \over \sqrt{2\theta}}.

Ghi chú: Quá trình OU vẫn là “bậc 1” chứ không phải “bậc 2” và theo tôi models dựa trên OU processes vẫn không miêu tả được tốt giá commodities.

Một số tài liệu về OU process:

1
Martin Jacobsen. “Laplace and the Origin of the Ornstein-Uhlenbeck Process”. Bernoulli, Vol. 2, No. 3. (Sept. 1996), pp. 271 – 286.
2
Bernt Øksendal. Stochastic Differential Equations, An Introduction with Applications, 5th edition. Springer, 1998.
3
Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer, 2004.
4
Sebastian Jaimungal. Lecture notes for Pricing Theory. University of Toronto.
5
Dmitri Rubisov. Lecture notes for Risk Management. University of Toronto.
Print Friendly

6 comments to Quá trình Ornstein-Uhlenbeck

  • Nguyen MonsterID Icon Nguyen

    GS Dũng viết thêm về vấn đề này được không? đây là một mô hình thú vị, em cũng đang tìm hiếu về nó.

  • admin MonsterID Icon admin

    @Nguyen

    Quá trình OU về mặt toán học tương đối đơn giản, và là quá trình duy nhất thỏa mãn một số tính chất gì đó, nên dễ hiểu là nó hay xuất hiện trong các mô hình.

    Tuy nhiên, mô hình chỉ dựa trên OU thì không giải thích được các market mania hay boom/bust.

  • Du MonsterID Icon Du

    Mô hình lãi suất Vasicek chính là Ornstein-Uhlenbeck. Mô hình Hull-White là một mở rộng của Vasicek. Cụ này chạy loạn mùa xuân 68 khỏi Tiệp, làm mô hình lãi suất rồi mô hình tín dụng ở Mỹ, cả hai đều là khai phá mới. Rồi cụ lập hãng KMV cũng rất thành công.

    Commodity thì cụ Mandelbrot nói là quá trình Levy stable, ví dụ giá cotton alpha là 1.7 – bài cụ viết từ năm 1961.
    http://www.garfield.library.upenn.edu/classics1982/A1982NR91700001.pdf
    http://web.williams.edu/go/math/sjmiller/public_html/341/econ/Mandelbroit_VariationCertainSpeculativePrices.pdf
    Sau cụ viết một bài trên Financial Times với Taleb nói tất cả là Fractal, vì phương sai vô hạn nên risky hơn Gaussian nhiều. Có lẽ trừ một nhóm nhỏ, những người làm toán tài chính ít ai làm theo cụ (vì không thể price được option), nhưng cứ 5, 10 năm lại có một vụ khủng hoảng vậy chắc là cụ có lý.
    http://www.ft.com/intl/cms/s/2/5372968a-ba82-11da-980d-0000779e2340.html

  • admin MonsterID Icon admin

    Thanks anh Dự. Mandelbrot thì em nghĩ là như người ta nói là “có cái búa nên nhìn đâu cũng thấy đinh”. Cũng như ông Zeeman nhìn đâu cũng thấy catastrophe.

    Em sắp tổ chức trường ở Đồ Sơn về TTC vào cuối tháng 10 này:

    http://zung.zetamu.net/finmath/school-2011/

    Lúc đó anh Dự có ở VN không để em mời đến ?

    Anh Trung (?) bạn của anh Dự đang đóng đô ở HongKong (?) mà có lần anh Dự đã giới thiệu cho em, có thể mời được không nhỉ ?

  • Du MonsterID Icon Du

    Cám ơn Zũng có lẽ tháng 10 Dự không đi được – rất là tiếc. Zũng mời anh Khanh đi chắc anh rất vui nếu thu xếp đi được.

  • Ngoc MonsterID Icon Ngoc

    GS cho em hỏi làm sao để ước lượng được các tham số θ,σ và μ được ạ. Em đang làm một đề tài về tài chính mà lãi suất tức thời tuân theo quá trình này. Em cần dữ liệu gì để có thể tìm ra các tham số mà GS đã nhắc tới. σ có phải là độ lệch chuẩn của lãi suất không ạ ?

Leave a Reply

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

  

  

  

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.