Dãy số để làm gì ?

 

Dãy số và giới hạn của dãy số là một khái niệm mà hầu hết các sinh viên phải học. Hồi tôi còn đi học, cũng phải làm đủ các thứ bài tập về tính giới hạn. Có điều, tôi không hề nhớ là các sách vở hồi đó được học có câu giải thích nào về việc dãy số để làm gì không, hay chỉ đưa ra các định nghĩa, định lý, rồi các bài tập. Không chỉ dãy số, mà phần lớn các sách về các khái niệm toán học khác mà tôi được đọc thời còn là học sinh sinh viên cũng vậy: rất ít giải thích cho người đọc biết là các khái niệm, định lý đó để làm gì.

Việc học các khái niệm mà không biết chúng thực sự dùng để làm gì có cái nguy hiểm là: hoặc là sẽ thấy chán (tại sao mình lại phải học cái dở hơi này, ngoài trừ việc phải thi cho đỗ ?), hoặc là (đối với những người yêu toán, có thể học toán chỉ vì nó “hóc búa” chứ không cần biết là dùng làm gì) thì có một sự nguy hiểm khác là có thể quá sa đà vào những cái mà cuối cùng thì ít dùng đến, trong khi đó lại không dành thời giờ cho những cái có thể cần hơn. Bản thân tôi đã từng là “bệnh nhân” của “căn bệnh” này. Hồi nhỏ, tôi đọc sách về độ đo Lebesgue (quyển sách của Natanzon ?) rất thích, say sưa với các định lý trong đó về các tính chất của các tập đo được, các hàm đo được, và tưởng nhầm đấy là “đỉnh cao của toán học”, có thể dùng nó để “đo mọi thứ” từ cái nhà trở đi. Phải mất rất lâu sau tôi mới hiểu dần ra là lý thuyết đấy cũng chỉ là một trong các công cụ của toán học, và còn bao nhiêu kiến thức khác cần học, nếu chỉ biết có mỗi lý thuyết độ đo thôi thì cũng chẳng làm được gì.

Một trong những nguyên tắc của toán học là: bất kỳ khái niệm quan trọng nào cũng có lý do của nó; nó không phải  từ trên trời rơi xuống, mà là xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề nào đó. Hiểu được những lý do sinh ra khái niệm là bước quan trọng trong việc hiểu bản thân khái niệm.

Vậy dãy số (và tất cả các khái niệm kèm theo, như hội tụ, phân kỳ, giới hạn, v.v.) để làm gì ? Công dụng quan trọng nhất của chúng là: để tính toán gần đúng (với độ chính xác cao) những thứ ta cần tính toán !

Ví dụ, ta muốn tính căn bậc 2 của 3. Tất nhiên, thời nay, bấm vào máy tính sẽ cho ra ngay kết quả:

\sqrt{3} = 1.732050808

Tất nhiên, con số trên cũng không phải là con số hoàn toàn chính xác của \sqrt{3}, mà chỉ là con số gần đúng với độ chính xác đến 9 chữ số sau dấu phẩy. Ta có thể bắt máy tính tính \sqrt{3} chính xác hơn, chẳng hạn đến 1000 chữ số sau dấu phẩy, cũng được. Máy tính không có con số đó sẵn trong bộ nhớ, nhưng nó có một thuật toán để tìm ra các giá trị xấp xỉ của \sqrt{3}, nếu tính càng lâu thì ra kết quả càng chính xác. Thuật toán ở đây như thế nào ? Cùng một bài toán có thể có nhiều thuật toán khác nhau, nhưng các chương trình máy tính, dù có dùng thuật toán nào, thì cũng thường có phần quay vòng, lặp đi lặp lại (loop) trong đó. Chẳng hạn, để tính \sqrt{3}, ta có thể làm theo thuật toán sau (tính bằng tay cũng được):

Bắt đầu từ một số nguyên gần với \sqrt{3}, chẳng hạn a_0 = 1. Số này là một xấp xỉ thô thiển của \sqrt{3} với sai số cao.

Ta muốn thay a_0 bằng một số a_1 khác, là giá trị xấp xỉ của \sqrt{3} với sai số ít hơn. Ta đặt

a_1 = a_0 + b_1 và giải phương trình theo b_1:

3 = (a_0 + b_1)^2 = a_0^2 + 2a_0 b_1 + b_1^2

phương trình này là phương trình bậc hai, và lời giải chính xác cần dùng căn thức. Nhưng ta muốn tính với các phép cộng trừ nhân chia thôi. Bởi vậy ta làm như sau: coi b_1 là nhỏ, khi đó b_1^2 nhỏ đến mức có thể bỏ qua, và ta thay phương trình trên bằng phương trình mới không có b_1^2 trong đó:

a_0^2 + 2a_0 b_1 = 3

Nghiệm của nó là:

b_1 = (3- a_0)^2/ 2a_0

a_1 = a_0 + (3- a_0)^2/ 2a_0 = (3 + a_0^2)/2a_0

Với a_0 = 1, ta được a_1 = (3+1)/2 = 2. Số 2 là một giá trị gần đúng của \sqrt{3} với sai số còn rất lớn, nhưng sai số này đã nhỏ hơn đáng kể so với sai số của giá trị gần đúng 1.

Khi có a_1 rồi, ta tìm số a_2 là giá trị gần đúng khác của \sqrt{3}, chính xác hơn so với a_1. Làm hệt như trên, ta được

a_2 = (3+a_1^2)/2a_1 = (3+4)/4 = 7/4 = 1.75 Con số a_2 = 1.75 này đã không còn cách xa lắm giá trị thật của \sqrt{3}, vì 1.75^2 = 3.0625

Tiếp thêm bước nữa, ta có:

a_3 = (3+a_2^2)/2a_2 = (3 + 7^2/4^2)/ (2 \times 7/4) = 97/56 = 1.73214 \hdots. Lần này độ chính xác đã đến 3 chữ số sau dấu phẩy.

Tiếp thêm bước nữa:

a_4 = (3 + a_3^2)/2a_3 = (3 + 97^2/56^2)/ (2 \times 97/56) = 18817/10864 = 1.73205081 \hdots. Lần này độ chính xác đã lên tới 7 chữ số sau dấu phẩy !

Các con số trên cho thấy thuật toán phí trên dùng để tính \sqrt{3} tuy đơn giản mà rất hiệu nghiệm: chỉ cần làm 4 vòng (từ a_0 đi đến a_4) là ta đã được kết quả chính xác đến 7 chữ số sau dấu phẩy. Nếu ta cứ tiếp tục lặp đi lặp lại như trên mãi, thì ta được một dãy số

(a_n)_{n \in \mathbb{N}}

hội tụ rất nhanh đến \sqrt{3}. Để tính \sqrt{3} với độ chính xác bất kỳ nào đó theo yêu cầu, chỉ cần lấy một số tự nhiên n tương ứng, rồi tính lặp đi lặp lại như trên cho đến khi ra số a_n. Các máy tính làm hoàn toàn tương tự như vậy.

(Bài tập: chứng minh rằng a_{11} là căn bậc hai của \sqrt{3} chính xác đến hơn 1000 chữ số sau dấu phẩy).

(Phương pháp tính toán hội tụ nhanh như trên được biết đến từ thời Newton, và mang tên phương pháp Newton. Các phương pháp hội tụ nhanh về sau mang tên Kolmogorov — Nash — Moser dùng trong các vấn đề phương trình đạo hàm riêng hay cơ học thiên thể là dựa trên phương pháp Newton này).

Print Friendly
 

29 comments to Dãy số để làm gì ?

  • shakhi MonsterID Icon shakhi

    Vừa kiểm tra lại, đúng như GS Dũng nói, nội dung này ở ngay 2 chương đầu tiên của cuốn sách của GS. Đồng thời nó cũng nằm ở cuốn “Tất nhiên trong ngẫu nhiên”, sách của VN, dành cho nhi đồng đọc để giúp các cháu nhìn thấy “nàng toán”.

  • Nhân chuyện “Để làm gì” này, em lại nhớ đến 1 thắc mắc của mình hồi trước. Hy vọng anh Dũng làm nhiều về Toán ứng dụng, 1 dạng “cầu nối” giữa Toán và KHTN, sẽ “gỡ rối” dc cho thắc mắc của em. :)

    Hồi mới làm nghiên cứu, có lần em hỏi 1 GS là, khi chọn đề tài, có nên tập trung vào “big problem” cũng như hướng đến những “big idea” ko? Ông ấy bảo là “wrong question”, câu hỏi phải là “nên làm cái gì thì hữu ích?”. Hồi đó em nghe vậy nhưng cũng hơi thắc mắc. Trong ý nghĩ của em hồi đó thì làm được cái gì khó mới thích, mới “thỏa mãn”, chứ hữu ích nghe mơ hồ quá. :D Chắc vẫn bị ‘ám ảnh” bởi các kỳ thi HSG Toán ở phổ thông. :D

    Hồi mới đọc tin tức về giải Nobel, điều làm em chú ý là tiêu chí của nó “greatest benefit on mankind”. Xem giải Nobel thì thấy nhiều cái về mặt kỹ thuật không quá cao siêu, nhưng nó có ảnh hưởng rất lớn đến nhân loại. Trong khi giải Fields hướng đến “Outstanding Discoveries”, có thể hình dung như là 1 dạng “đỉnh cao trí tuệ” (tạm hiểu trí tuệ ở đây như độ phức tạp và độ sâu của tư duy logic). Như vậy sẽ có những công trình thỏa mãn tiêu chí Nobel mà ko thỏa mãn tiêu chí Fields và ngược lại.

    Câu hỏi của em là trong khoa học tự nhiên, liệu ta có thể có 1 đánh giá như kiểu của giải Fields ko? (Điều ngược lại thì chắc dễ trả lời hơn, vì “benefit on mankind” với các công trình Toán học thì chắc khó mà nhìn thấy trực tiếp dc (gián tiếp thì khác)).

  • admin MonsterID Icon admin

    @Nam

    Tôi cũng nghĩ rằng đánh giá một vấn đề, trước tiên phải là “mức độ ý nghĩa của nó ra sao” chứ không phải “mức độ khó
    của nó ra sao”. Tất nhiên vấn đề mở nào có ý nghĩa lớn thì thường cũng là vấn đề khó, vì nếu dễ thì nhiều khả năng là
    người ta làm mất rồi (nếu không khó thì phải là vấn đề mới, chưa kịp mấy người nhúng tay vào). Nhưng điều ngược lại
    không đúng, đặc biệt là trong toán học có hàng tỷ vấn đề rất khó, thậm chí không có lời giải, nhưng ý nghĩa của nó
    thì hạn chế, ngoài việc làm thỏa mãn sự hiếu kỳ của vài người.

    Nếu nhìn vào các giải Nobel về kinh tế, có thể thấy các công trình được giải không phải là “khó” lắm theo nghĩa của toán học, nhưng toàn là những công trình có ý nghĩa, ảnh hưởng lớn. Tôi nghĩ trong vật lý cũng tương tự như vậy, người ta tính theo “độ ảnh hưởng” chứ không theo “độ khó”. Mà khó hay dễ cũng chỉ là tương đối thôi, có những cái cách đây 100 năm “khó” đến mức “không ai hiểu” thì nay thành “dễ ợt”. Và mỗi thứ có một kiểu khó khác nhau.
    Bởi vậy người ta mới nghĩ ra lý thuyết “đa trí tuệ” (hay nói đúng hơn là sự đa diện của trí tuệ), trong đó khả năng suy luận toán học trên các khái niệm, công thức, ký hiệu trừu tượng chỉ là một mặt của trí tuệ.
    Bởi vậy một người mà giỏi toán thì không có nghĩa là cũng giỏi các thứ khác.

  • Em có đọc 1 số nghiên cứu về “Đa trí tuệ”. Tuy phân loại ra như vậy nhưng em nghĩ con người thường sở hữu nhiều năng lực (trong đó có khả năng suy luận logic), và dường như người có nó (khả năng suy luận) ở mức cao (thấp) cũng thường đi kèm với các khả năng khác cũng cao (thấp) trong khoa học và nhận thức nói chung, trừ các thứ cực kỳ đặc thù như nghệ thuật… Vì ko ai có thời gian, điều kiện để mà “thi thố” hết mọi lĩnh vực cả, trong khi cái nhu cầu “xếp hạng” thì vẫn luôn có, ít nhất là trong xã hội hiện nay, nên phải có 1 thước đo nào đó. Em nghĩ việc lấy khả năng suy luận logic làm “thước đo khả năng” chắc cũng phản ánh dc ít nhiều năng lực của 1 người trong khoa học hay nhận thức nói chung. :) Tất nhiên điều này dĩ nhiên ko đúng với tất cả mọi người.

    Em cũng nghĩ là có 1 tương quan nhất định giữa 1 vấn đề có tầm ảnh hưởng lớn với “độ khó” của nó, chỉ trừ 1 ít ngoại lệ thôi. Dĩ nhiên là mọi so sánh, xếp hạng đều tương đối cả và đều ko chính xác. :)

    Có lẽ câu hỏi của em là thừa. Trong khoa học nói chung, xếp theo tiêu chí khó hay dễ có lẽ là “misleading”. Theo em hiểu, vấn đề của khoa học là trả lời được các câu hỏi, giải quyết dc các vấn đề đặt ra. Công cụ nào ko quan trọng, thậm chí càng đơn giản càng tốt. Khi chưa tìm ra các công cụ đơn giản để làm thì người ta mới phải viện đến các công cụ phức tạp. :) Muốn “thi thố” trí tuệ theo kiểu xét đến “Độ khó” thì nên theo Toán. :D

    Vậy anh có nghĩ là Toán học bây giờ đang có 1 bộ phận gặp nguy cơ bị “misleading” ko? :D Hay nó là 1 dạng trí tuệ đặc thù của con người, nó sẽ phát triển như 1 tất yếu của việc “đi lên” của trí tuệ loài người và do đó việc này ko nên đặt ra?

  • bimba MonsterID Icon bimba

    @ Nam: bà giáo người Pháp dạy piano cho con tôi cho rằng có mối liên hệ nào đó giữa năng khiếu toán học và năng khiếu âm nhạc. Theo kinh nghiệm mấy chục năm dạy học của bà ấy thì hầu hết những học trò giỏi nhất của bà ấy khi học ở trường đều rất giỏi toán. Thú vị đấy chứ nhỉ.

  • Dag MonsterID Icon Dag

    Tất nhiên một người giỏi trong lĩnh vực này có thể kém về lĩnh vực khác. Nhưng nói về đa tài, tôi cho rằng những người có năng khếu toán học là nhất. Giỏi tóan thường đi với những khả năng khác như văn học, ngôn ngữ, âm nhạc… (Tất nhiên là trừ tôi ra. Nếu lại nói tôi cũng thế, chẳng hóa ra thiếu khiêm tốn lắm ru!!!). Solzhenitsyn tốt ngiệp toán mà cuối cùng nhận giải Nobel văn học là một ví dụ. Lâu lắm rồi, tôi từng đọc một tác phẩm văn học cực hay của một nữ toán học tài ba, cũng người Nga, nhưng không nhớ rõ họ, chỉ nhớ tên là Zophia (Tiếng Nga có thể là Tonhia?), rằng gia đình tác giả dòng dõi quý tộc, nhà có hai chị em, từng quan hệ phức tạp với Dostojevski… Chẳng qua những người theo nghề toán (rất nặng) không đủ thì giờ và điều kiện để phát triển cả những tài năng khác mà thôi.

  • VA MonsterID Icon VA

    @Dag: hi hi, xin lỗi phải nói thật. Cái gọi là giỏi văn học, ngôn ngữ bác nói là do các bác toán tự sướng thôi. Đem văn chương của các bác ra cho công chúng đọc xem họ có thích được không.

    Người ta vốn có câu “giỏi văn nhất lớp chuyên toán” mà. Các bác đọc văn của nhau thấy sướng vì logic giống nhau. Nhưng công chúng không nghĩ thế.

    Tốt nghiệp đại học toán ra rồi thành công trong lĩnh vực khác thì chưa đáng gọi là giỏi toán.

  • Chuyện bimba kể thú vị nhỉ? Trước đến giờ mình hay nghĩ là 2 thứ này ít liên quan đến nhau, vì tương phản quá. :D

    Nhưng nếu xét 1 cách thấu đáo về lịch sử phát triển của loài người, thì có vẻ cũng có lý. Ban đầu bộ não của con người ko hề dc “lập trình” cho bất cứ 1 “loại hình trí tuệ” nào. Cái duy nhất loài người có là khả năng nhận thức thế giới, nhận thức chính mình, từ đó mà hình thành tư duy. Theo đà tiến triển của xã hội thì mới bắt đầu hình thành các “loại hình trí tuệ” khác nhau. Do vậy nếu tóm 1 “thằng người” có khả năng nhận thức, tư duy cao và cho nó luyện từ bé theo 1 lĩnh vực bất kỳ, cho nó sống từ bé trong môi trường thích hợp với lĩnh vực đó thì nhiều khả năng nó sẽ trở thành người giỏi trong lĩnh vực đó, bất kể là lĩnh vực gì. :) À nhưng làm thế nào để “đo” khả năng nhận thức, tư duy nhỉ? :D

    Đây là nói chung thôi, chứ dĩ nhiên là có ngoại lệ.

  • Dag MonsterID Icon Dag

    @ VA. Bạn nói thật thì tôi cũng nói thật.

    VA viết:”Cái gọi là giỏi văn học, ngôn ngữ bác nói là do các bác toán tự sướng thôi”.
    - Tôi nói vậy, nhưng rất tiếc, tôi không phải là nhà toán, thậm chí không tốt nghiệp toán học. Còn các nhà toán trên trang này không ai phát biểu như vậy cả. Dùng lời lẽ như bạn liệu có phải là lịch thiệp không?

    VA viết: “Đem văn chương của các bác ra cho công chúng đọc xem họ có thích được không……. Các bác đọc văn của nhau thấy sướng vì logic giống nhau. Nhưng công chúng không nghĩ thế”
    - Thiết tưởng, khen hay chê là quyền của độc giả. Thậm chí những nhà văn có tiếng viết ra cũng có kẻ khen hay, người chê dở, huống hồ là những người không chuyên nghiệp. Vậy mỗi người hãy chỉ nên đại diện cho bản thân mình thôi. VA là ai mà lại định nghĩ thay công chúng?

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree