Copula trong xác suất và tài chính (3)

Phần tiếp nối bài  Copula trong xác suất và tài chính (2). Phần này bàn về một số họ copulas

Marshall-Olkin copulas

Họ copula này được Marshall & Olkin nghiên cứu từ quãng năm 1967 (Ref: Marshall, A., and I. Olkin (1967): “A multivariate exponential distribution,” Journal of the American Statistical Association, 62, 30–44), và ứng với các quá trình Poisson

Hình dung tình huống sau: có hai bộ phận C1 và C2 (ví dụ như hai cái bóng đèn, hay là 2 cổ phiểu trong một danh mục đầu tư, v.v.). Tai biến (gây cháy bóng, sập cổ phiếu, …) có thể xảy ra đến với riêng C1, hoặc với riêng C2, hoặc cả C1 và C2 cùng một lúc. Các quá trình xảy ra tai biến được giả sử là quá trình Poisson, với các tham số \lambda_1, \lambda_2, \lambda_{12} tương ứng. Có nghĩa là, xác suất để có tai biến xảy ra đối với riêng C1 trong khoảng thời gian có độ dài t (tính từ thời điểm ban đầu nào đó) là 1 - \exp(-\lambda t). Gọi X_1,X_2 là các biến thời gian sống sót của C1 và C2 (cho đến khi xảy ra tai biến đầu tiên), Z_1, Z_2, Z_{12} là thời điểm xảy ra tai biến với riêng C1, riêng C2, và cả C1 và C2. Ta giả sử là Z_1, Z_2, Z_{12} là một bộ biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó ta có:

P(X_1 > x_1, X_2 > x_2) = P(Z_1 > x_1, Z_2 > x_2, Z_{12} > \max(x_1,x_2)) = \exp( - \lambda_1 x_1 - \lambda_2. x_2 - \lambda_{12} \max(x_1,x_2))

từ đó suy ra copula của (X_1,X_2) là:

C_{\alpha_1,\alpha_2}(u_1,u_2) = \min(u_1^{1- \alpha_1}u_2, u_2^{1- \alpha_2}u_1)

trong đó

\alpha_1 = \lambda_{12}/(\lambda_1 + \lambda_{12}), \alpha_2 = \lambda_{12}/(\lambda_2 + \lambda_{12}).

Có thể tính được ra Spearman’s rho và Kendall’s tau của copula này bằng:

\rho_S(C_{\alpha_1,\alpha_2}) = 3\alpha_1 \alpha_2/( 2\alpha_1 + 2\alpha_2 - \alpha_1 \alpha_2)

\tau(C_{\alpha_1,\alpha_2}) = \alpha_1 \alpha_2/( \alpha_1  + \alpha_2 - \alpha_1 \alpha_2)

Hệ số phụ thuộc đuôi của (X_1,X_2)\lambda_U = \min(\alpha_1,\alpha_2)

Có thể mở rộng các công thức trên lên trường hợp nhiều biến (có n bộ phận, và số quá trình Poisson ảnh hưởng đến chúng là 2^n - 1).

Elliptical copulas

Phân bố elliptical là khái niệm mở rộng của phân bố normal (hay còn gọi là Gaussian) n chiều. Một vector ngẫu nhiên n chiều \bold{X} có phân bố elliptical nếu và chỉ nếu nó có thể viết dưới dạng

\bold{X} = \mu + RA \bold{U}

trong đó \bold{U} là một biến ngẫu nhiên $k$ chiều k \leq n với tập giá trị là hình cầu đơn vị trong \mathbb{R}^k và có phân bố đều trên hình cầu đó, A là một ma trận n \times k hằng số, R \geq 0 là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị không âm độc lập với   \bold{U}, và \mu là một vector hằng số (bằng giá trị kỳ vọng của \bold{X}).

Có thể chọn RA sao cho \Sigma = A. A^T chính là ma trận hiệp phương sai (covariance matrix) của \bold{X}.

Tất nhiên, các phân bố normal nhiều chiều là các phân bố elliptical

Từ phân bố viết ra được hàm copula, nhưng công thức của copula không có “closed form”, tức là nó viết ở dưới dạng tích phân, thông qua hàm phân phối xác suất (dạng hàm ngược), chứ không viết được trực tiếp một cách đơn giản.

Phân bố T nhiều chiều (sudent T) cũng là ví dụ về phân bố elliptical ? Công thức của copula tương ứng cũng tương tự như là công thức cho phân bố normal (không có dạng “closed form”).

Một ví dụ (trong bài báo của Embrecht et al.) là vector 2 biến ngẫu nhiên “BMW-Siemens”, tức là sự lên xuống của giá cổ phiếu của BMW & Siemens. Đồ thị cho thấy đây có vẻ là một phân bố elliptical (thậm chí Gaussian)

Một số yếu điểm của elliptical copulas là:

– Nó có tính chất đối xứng (nó bằng survival copula của nó), thế nhưng trong thực tế thường không phải vậy: chẳng hạn khi thị trường sập, thì các cổ phiếu cùng sập, nhưng khi đi lên thì có cái lên cái không (tính bất đối xứng)

– Công thức của nó phức tạp (không có dạng closed-form)

Có một họ copula khác rất thú vị, mà không có những nhược điểm này, cho phép sự lựa chọn khá cao, gọi là họ Archimedean.

Archimedean copulas

Giả sử có một hàm số \phi: [0,1] \to [0,+\infty] đơn điệu giảm sao cho \phi(1) = 0. Hàm \phi^{[-1]} định nghĩa theo công thức \phi^{[-1]}(x) = \phi^{-1}(x) nếu 0 \leq x \leq \phi(0)\phi^{[-1]}(x) = 0 nếu x \geq \phi(0) được gọi là pseudo-inverse của \phi.

Với mỗi hàm \phi như trên, thỏa mãn thêm điều kiện lồi, có một copula sau, gọi là Archimedean copula:

C(u,v) = \phi^{[-1]}(\phi(u) + \phi(v))

Nếu \phi không phải hàm lồi, thì C(u,v) định nghĩa như trên không thỏa mãn các điều kiện của copula. Tính lồi là để đảm bảo điều kiện “mọi thể tích đều không âm” được thỏa mãn.

Khi mà \phi(0) = +\infty thì Archimedean copula sinh bởi \phi được gọi là strict.

Ví dụ: Nếu lấy \phi(t) = - \ln t, thì ta được copula \Pi (bộ biến ngẫu nhiên độc lập), nếu lấy \phi(t) = 1- t thì ta được copula W (copula nhỏ nhất),nếu lấy \phi(t) = (- \ln t)^{\theta} thì ta được các copula (gọi là họ copula  của Gumbel), mà khi \theta tiến tới cô cùng, thì chúng tiến tới M (copula lớn nhất).

Chú ý là các Archimedean copula có tính chất đối xứng và kết hợp, tức là C(u,v) = C(v,u)C(C(u,v),w) = C(u, C(v,w)). Các họ copula khác nói chung không có tính kết hợp. Ví dụ copula Farlie-Gumbel-Morgenstern

C_\theta (u,w) = uv + \theta uv (1-u) (1-v)

(trong đó \theta là một tham số nằm trong đoạn [-1,1]) không có tính kết hợp nếu như \theta khác 0.

Công thức để tính Kendall’s tau cho copula sinh bởi \phi là:

\tau_C = 1 + 4 \int_0^1 (\phi(t) / \phi'(t)) dt

(Ref: Genest & Mackay: “The joy of copulas: Bivariate distributions with uniform marginals,” The American Statistician, 40 (1986), 280–283.

Trường hợp nhiều chiều: Định nghĩa Archimedean copula phía trên có thể mở rộng ra trường hợp nhiều chiều thành:

C(u_1,u_2,\hdots,u_n) = \phi^{[-1]}(\phi(u_1) + \phi(u_2) +  \hdots + \phi(u_n))
Print Friendly

Leave a Reply

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

  

  

  

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.