Định lý kinh doanh chênh lệch giá

 

Tôi thấy định lý kinh doanh chênh lệch giá (arbitrage theorem) trong một số sách viết khá phức tạp, nên thử viết lại chứng minh đơn giản. Mọi người thủ đọc xem có đúng không và có dễ hiểu hơn không


Để phát biểu chính xác định lý kinh doanh chênh lệch giá, ta sẽ xét mô hình sau: thị trường có $n$ loại tài sản $X_1,\hdots,X_n$, giao dịch tại hai thời điểm $T_0$ và $T_1 > T_0$. Không gian các tình huống có thể xảy ra tại thời điểm $T_1$, ký hiệu là $\Omega$, là một không gian hữu hạn với $m$ phần tử:  $\Omega = \{ \omega_1,\hdots,\omega_m \}$. Tại thời điểm $T_0$, người kinh doanh chưa biết tình huống nào sẽ xảy ra tại thời điểm $T_1$ trong số các tình huống $\omega_j$ . Nếu như mua 1 đơn vị tài sản $X_i$ tại thời điểm $T_0$ và bán lại nó tại thời điểm $T_1$, thì lợi nhuận (return) thu được tại thời điểm $T_1$ sẽ là $r_{ij}$
nếu như tình huống $\omega_j$ xảy ra (các con số $r_{ij}$ có thể là dương hoặc âm, tức là có thể lãi hoặc lỗ).
Một chiến lược kinh doanh (hay đặt cược) sẽ được xác định bởi một vector
${\bf x} = (x_1,\hdots, x_n) \in \mathbb{R}^n$, gọi là {\bf vector chiến lược}\index{vector chiến lược} (hay gọi vắn tắt là {\bf chiến lược ${\bf x}$}), ứng với việc mua (hoặc bán) $x_i$ đơn vị tài sản $X_i$ tại thời điểm $T_0$ và bán (hoặc mua) lại nó tại thời điểm $T_1$ với
mọi $i=1,\hdots,n$. Ở đây $x_i$ có thể dương hoặc âm hoặc bằng 0, nếu âm thì có nghĩa là bán một lượng $|x_i|$ tài sản $X_i$
tại thời điểm $T_0$ và mua lại nó tại thời điểm $T_1$. Nếu tình huống $\omega_j$ xảy ra vào thời điểm $T_1$, thì
lợi nhuận của chiến lược  ${\bf x}$ là:
$$
R({\bf x}) = R_j({\bf x}) = \sum_{i=1}^n x_i r_{ij}.
$$
Ở đây ta giả sử chi phi giao dịch bằng 0, có thể bán hay mua một lượng tùy ý các tài sản, và giá của các tài sản không phụ thuộc vào số lượng mua/bán của ta. Nếu như xác suất xảy ra tình huống $\omega_j$ bằng $p_j$ với mọi $j=1,\hdots, m$ (các số $p_j$ là không âm và tổng của chúng bằng 1: $\sum_{j=1}^m p_j = 1$, vì sẽ có một và chỉ một tình huống xảy ra), thì {\bf lợi nhuận kỳ vọng} (expected return) của chiến lược ${\bf x}$ là:

$$
\mathbb{E}(R({\bf x})) = \sum_{j=1}^m p_jR_j({\bf x}) = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n x_i r_{ij}p_j = \sum_{i=1}^n x_i (\sum_{j=1}^m r_{ij}p_j).
$$

{\bf Định lý kinh doanh chênh lệch giá}

Với mọi ma trận lợi nhuận $(r_{ij})_{i=1,\hdots,n}^{j=1,\hdots,m}$ bất kỳ cho trước, có một và chỉ một khẳng định trong hai khẳng định sau đây là đúng:

1) Tồn tại một chiến lược ${\bf x}=(x_1,x_2,\hdots,x_n)$ sao cho luôn có lợi nhuận dương dù bất kỳ tình huống nào xảy ra, có nghĩa là
$$
R_j ({\bf x}) = \sum_{i=1}^nx_ir_{ij}>0
$$
với mọi j=1,…,m.

2) Tồn tại một phân bố xác suất trên không gian các tình huống $\Omega$, sao cho kỳ vọng lợi nhuận của mọi chiến lược bằng 0:
$$
\mathbb{E}(R({\bf x})) = 0
$$
với mọi ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$. Nói cách khác, tồn tại một bộ $n$ số không âm  ${\bf p}=(p_1,\hdots,p_m)$ có tổng bằng 1 sao cho

$$
\sum_{j=1}^m r_{ij}p_j=0 \mbox{ với mọi  }  i=1,2,\hdots,n.
$$

Chứng minh

Ký hiệu ${\mathcal P}(\Omega)$ là tập hợp tất cả các phân bố xác suất trên $\Omega$. Mỗi phần tử của  ${\mathcal P}(\Omega)$ có thể coi là một bộ $m$ số ${\bf p} =(p_1,\hdots,p_m)$ không âm có tổng bằng 1 (xác suất của phần tử $\omega_i$ bằng $p_i$). Với mỗi ${\bf p} \in {\mathcal P}(\Omega)$, xét vector
$$
{\bf p}.(r_{ij})^T = \left(\sum_{j=1}^m r_{1j}p_j, \hdots, \sum_{j=1}^m r_{nj}p_j \right).
$$
vector này là vector kỳ vọng lợi nhuận của các chiến lược đơn: một chiến lược đơn là một chiến lược chỉ mua 1 đơn vị tài sản $X_i$ và không mua/bán các tài sản khác, và kỳ vọng lợi nhuận của chiến lược đơn này theo phân bố xác suất ${\bf p}$ bằng $\sum_{j=1}^m r_{ij}p_j$. (Có $n$ chiến lược đơn, ứng với $n$ tài sản, và bởi vợi vector kỳ vọng lợi nhuận của các chiến lược đơn có $n$ thành phần). Đặt

$$ E = \{ {\bf p}.(r_{ij})^T   |   {\bf p} \in {\mathcal P}(\Omega) \}  $$

là tập hợp tất cả các vector kỳ vọng lợi nhuận có thể của các chiến lược đơn. $E$ là một đa diện lồi compact (tức là đóng và bị chặn) trong không gian Euclide $n$ chiều $\mathbb{R}^n$, bởi vì $E$ là ảnh của ${\mathcal P}(\Omega)$ qua một phép biến đổi tuyến tính, và bản thân ${\mathcal P}(\Omega)$ là một đa diện lồi compact trong  $\mathbb{R}^m$. Chú ý rằng với mọi $j=1,\hdots,m$, vector
$$
\rho_j = (r_{1j},\hdots, p_{nj})
$$
nằm trong $E$, vì nó là vector kỳ vọng lợi nhuận ứng với phân bố xác suất tập trung tại phần tử $\omega_j$ (xác suất của $\omega_j$ bằng 1 còn của tất cả các phần tử còn lại bằng 0). (Bản thân $E$ chính là bao lồi của các vector $\rho_j$ này).
Có hai trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp thứ nhất: $E$ không chứa không điểm của $\mathbb{R}^n$, hay nói cách khác, với mọi điểm
${\bf y} = (y_1, \hdots,y_n) \in E$ ta có ${\sum_{i=1}^n y_i^2} > 0$, trong đó ${\sum_{i=1}^n y_i^2} = \|{\bf y} \|^2$ là bình phương của độ dài Euclide của ${\bf y}$. Vì tính compact của $E$, nên tồn tại một điểm ${\bf x} = (x_1,\hdots,x_n) \in E$ có độ dài ngắn nhất, tức là
$ \|{\bf x} \| = \min \{  \|{\bf y} \| \ | \  {\bf y} \in E \}$, $ \|{\bf x} \| > 0$. Khi đó, với mọi $j =1,\hdots,m$, góc Euclide giữa vector ${\bf x}$ và vector
$\rho_j = (r_{1j},\hdots, p_{nj})$ phải là góc nhọn, hay nói cách khác, tích vô hướng của chúng phải lớn hơn 0:
$$
\langle {\bf x}, \rho_j \rangle  := \sum_{i=1}^n x_i r_{ij}  > 0
$$
bởi vì nếu không thì với mọi $\epsilon > 0$ đủ nhỏ, vector $\epsilon \rho_j + (1- \epsilon) {\bf x}$ sẽ nằm trong $E$ (do tính lồi của $E$) và có độ dài nhỏ hơn ${\bf x}$, mâu thuẫn với điều kiện $ \|{\bf x} \|$ là nhỏ nhất trong $E$. (Thật vậy, $ \|\epsilon \rho_j + (1- \epsilon) {\bf x} \|^2 – \|{\bf x} \|^2 \approx – 2 \epsilon ( \|{\bf x} \|^2 -  \langle {\bf x}, \rho_j \rangle) < 0$ khi $\epsilon$ đủ nhỏ, nếu như $\langle {\bf x}, \rho_j \rangle  := \sum_{i=1}^n r_{ij} x_j \leq 0$). Đây chính là trường hợp thứ nhất của định lý: tồn tại vector ${\bf x}$ sao cho $\sum_{i=1}^n x_i r_{ij} > 0$ với mọi $j=1, \hdots, m$.

Trường hợp thứ hai: $E$ chứa không điểm của $\mathbb{R}^n$, có nghĩa là tồn tại ${\bf p} \in {\mathcal P}(\Omega)$ sao cho
${\bf p}.(r_{ij})^T = 0$, hay nói cách khác, $\sum_{j=1}^m r_{ij}p_j = 0$ với mọi $i = 1, \hdots,n$. Đây chính là trường hợp tồn tại một độ đo xác suất sao cho kỳ vọng lợi nhuận của mọi chiến lược bằng 0, tức là trường hợp thứ hai trong định lý.

Print Friendly
 

5 comments to Định lý kinh doanh chênh lệch giá

  • Herry Smith MonsterID Icon Herry Smith

    Dear sir
    I can’t read what you wrote. Math formualatios are showed in dimmy format

  • admin MonsterID Icon admin

    sorry for that
    I’ll post a pdf file soon

  • Đỗ Thông MonsterID Icon Đỗ Thông

    Xin GS cho biết GS tham khảo chứng minh này trong quyển sách nào đấy ạ.

  • admin MonsterID Icon admin

    version của đ/l arbitrage mà tôi viết phí trên là theo sách của Buchanan (?) nhưng thực ra là version không phổ biến và không tiện dùng. Version khác (không hoàn toàn tương đương) “chuẩn hơn” là:

    hoặc là tồn tại độ đo xác suất mới *không suy biến* sao cho lợi nhuận kỳ vọng của mọi chiến lược = 0 theo độ đo đấy
    hoặc là tồn tại một chiến lược arbitrage theo “nghĩa yếu”: trong mọi tình huống thì lợi nhuận đều không âm, và kỳ vọng lợi nhuận là dương

    (trong sách tôi đang soạn về toán tài chính thì nhấn mạnh version thứ 2 này)

    chứng minh thì thực ra không khó(và có thể chứng minh cả 2 version cùng một lúc). tôi tự viết ra chứng minh (có dùng tính khái niệm tập compact) sau khi đọc một vài tài liệu thấy người ta viết hơi dài dòng, nhưng tôi không claim gì về tính mới mẻ của chứng minh này (nó như là một bài tập thôi, và có thể có những tài liệu khác người ta cũng viết chứng lminh tương tự).

  • @@@ MonsterID Icon @@@

    uhm.dinh ly nay minh doc k hieu

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree