Một số điều nên và không nên trong giảng dạy toán (12)

 

DRAFT 26/July/2009

Trong phần này tôi muốn bàn đến việc nên làm thế nào để giúp trẻ em rèn luyện khả năng suy nghĩ sâu sắc (deep thinking).

Thế nào là suy nghĩ sâu sắc ? Một số đặc trưng của suy nghĩ sâu sắc là:

  • Suy luận bắc cầu nhiều bước, chứ không dừng lại ở 1-2 bước đầu tiên (như trong chơi cờ: người suy nghĩ sâu là người tính trước mấy nước đi)

  • Nhìn một vấn đề từ nhiều chiều nhiều hướng khác nhau, chứ không chỉ nghĩ “một chiều”.

  • Tìm cách “nhận dạng” vấn đề và sự liên quan đến các vấn đề khác

  • Không thỏa mãn với những câu trả lời “đơn giản hóa”, “giáo điều”, mà đi tìm những “lời giải thích” sâu sắc hơn.

  • Lật đi lật lại vấn đề, kiểm tra các suy luận và thông tin.

  • Mất nhiều thời gian để suy nghĩ cho một vấn đề

Trong đời sống của con người, hầu hết các hoạt động được làm theo phản xạ mà không cần suy nghĩ hoặc chỉ cần suy nghĩ đơn giản 1-2 bước. Nhưng có những việc quan trọng, đòi hỏi khả năng suy nghĩ sâu, ví dụ như phân tích tình hình, vạch chiến lược, hay là nghiên cứu một vấn đề xã hội hay một vấn đề khoa học. Những người “bình dân” có thể ít khi suy nghĩ sâu sắc, nhưng những người muốn tự nhận mình là “trí thức”, không thể không biết suy nghĩ một cách độc lập và sâu sắc.

Khả năng suy nghĩ sâu sắc không phải tự nhiên sinh ra mà có (trẻ em suy nghĩ rất giản đơn), mà là một kỹ năng có thể được tăng dần lên qua quá trình luyện tập thành thói quen. Theo các nhà thần kinh học thì không chỉ các kiến thức, mà cả các kỹ năng của con người cũng được ghi trong bộ nhớ của não. Tương tự như là máy tính, kiến thức thì được nhớ ở dạng dữ liệu (data) còn kỹ năng được nhớ ở dạng chương trình (programs). Trong đó có các “bản năng”, là các kỹ năng từ lúc sinh ra đã có sẵn trong bộ não, ví dụ như bản năng nghe nhìn, ăn uống, tự vệ, làm tình, v.v. (những thứ không ai dạy cũng biết làm ở mức độ nào đó), và các kỹ năng còn lại là do học được trong quá trình sống. Tất nhiên các kỹ năng có thể tốt lên (nếu được sử dụng và luyện tập thường xuyên) hoặc tồi đi cùng với thời gian.

Để có kỹ năng suy nghĩ sâu sắc, thì không có cách gì khác, là phải thường xuyên được luyện tập suy nghĩ sâu sắc. Một anh bạn tôi gốc do Thái (nhưng không theo đạo Do Thái) có kể cho tôi một câu chuyện thú vị sau: đạo Do Thái rất là phức tạp, rất nhiều luật lệ, và những người theo đạo, từ đứa trẻ con, phải nghiêm chỉnh tuân thủ các luật đó. Có điều các luật đó lại mâu thuẫn với nhau nhau, nhưng có 1 luật là: nếu 2 luật mâu thuẫn nhau, thì áp dụng luật nào quan trọng hơn (higher priority) trong hai luật đó. Ví dụ ngày thứ 7 không được lái xe ô tô và nói chung không được làm gì cả. Nhưng đúng hôm đó vợ đẻ mà không có cấp cứu thì sao ? Nếu không chở xe đưa vợ đến bệnh viện, mà để ở nhà, thì vợ có thể chết, nhưng sự sống là quan trọng nhất. Bởi vậy trong trường hợp đó phải lái xe chở vợ đến bệnh viện. Đưa vợ vào đến viện rồi thì phải đi bộ (không còn lý do để đi xe nữa). Thế nhưng không được để xe trước cửa bệnh viện (cản đường người khác, có thể làm người khác bị chết) nên phải lái xe đi ra khỏi bệnh viện để vào chỗ nào đó đã. Thế nhưng đi cách khỏi cổng bệnh viện bao nhiêu mét, đến chỗ nào thì phải dừng lại và đến chỗ nào thì chưa được dùng lại, là câu hỏi khó tha hồ mà suy nghĩ ! Hay là luật lệ về ăn uống của họ khá phức tạp, có nhiều cái cấm ăn. Thế nhưng lại có luật là “nếu ở chỗ đông người, thì không được làm ảnh hưởng xấu đến không khí ở chỗ đó”, nên nếu vì không ăn cái gì đó mà làm những người xung quanh mếch lòng, thì có khi họ vẫn ăn. Từ khi nhỏ tuổi người Do Thái đã luôn gặp các tình huống phải suy nghĩ như vậy, khiến họ luôn luôn suy nghĩ, và “tự nhiên” trở thành các “thinkers”. Điều này một phần giải thích tại sao có nhiều người Do Thái thông minh. Người Việt Nam cũng có tiếng là “thông minh” (hay “khôn vặt” có khi chính xác hơn), vì luôn luôn “nghĩ mẹo”.

Trong hầu hết các môn học đều có những câu hỏi, những vấn đề đòi hỏi phải suy nghĩ sâu. Có điều học sinh có được luyện suy nghĩ hay không, còn phụ thuộc vào cách dạy và cách thi cử. Nếu học chỉ để cốt nhớ như con vẹt, và khi đi thi cứ nhớ như vẹt là yên tâm được điểm cao còn “lý sự” lại bị trừ điểm, thì chẳng còn gì để mà suy nghĩ. Tôi lấy ví dụ môn sinh vật. Tôi tin rằng đó là môn rất hay, có rất nhiều cái để tò mò, khám phá, để suy luận. Nhưng mới đây khi tôi cầm xem một quyển sách về “học sinh vật qua các câu hỏi trắc nghiệm” bậc PTTH thì phát sợ. Tôi không thể hình dung nổi làm sao học sinh phổ thông trung học có thể nhớ hết tất cả đống thông tin rời rạc về sinh vật trong quyển sách đó. Một đề bài thi trắc nghiệm sinh vật chỉ có 60 phút mà có những 40 câu hỏi. Để trả lời được 40 câu hỏi thì phải nhớ và trả lời như cái máy thôi, chứ làm sao có thể “suy nghĩ” và “hiểu” gì, trừ khi là “thần đồng”. Bây giờ mà tôi phải đi học phổ thông, thi môn sinh vật có khi được 2 điểm. Hay là môn lịch sử, cũng là môn rất hay. Nhưng lối dạy và học hiện tại theo tổi hiểu là học để nhớ một đống các sự kiện ngày tháng, và nhớ luôn cả các bình luận lịch sử như “sách bảo” một cách giáo điều, mà không khuyến khích đào sâu suy nghĩ, khuyến khích “hiểu” lịch sử. Ông Nguyễn Ánh đã được sách gọi là “cưỡi rắn cắn gà nhà” thì học sinh sẽ chỉ biết có vậy, không được phân tích sâu thêm về ông ta, về hoàn cảnh lịch sử giai đoạn đó. Không kể đến những môn chính trị đặc giáo điều, hay môn triết học biến tướng thành chính trị, ai học phải những môn đó mà dám thể hiện là mình “nghĩ sâu, nghĩ độc lập”, có khi “tiêu” luôn.

Môn toán thường được coi là môn học đòi hỏi phải suy nghĩ nhiều nhất (chứ không chỉ nhớ) trong các môn học. Điều này có lý, vì số lượng kiến thức cần nhớ trong toán tương đối ít so với những môn khác, nhưng các bài tập toán thường đòi hỏi phải suy nghĩ ít ra vài ba bước, chứ không chỉ nhớ định lý, công thức là có ngay kết quả. Do đặc tính đó của môn toán, nên nó được dùng như là môn chủ đạo trong các kỳ thi tuyển vào đại học (kể cả cho các ngành mà về sau rất ít dùng đến kiến thức toán, nhưng cái gọi là “khả năng suy luận logic” thì hầu như ngành nào cũng dùng đến). Điều này là hợp lý, vì (ít ra về “lý thuyết”) đề thi toán không chỉ nhằm kiểm tra kiến thức toán (tức là các công cụ toán học đã được học), mà còn nhằm kiểm tra khả năng suy nghĩ logic sâu sắc của học sinh. Tất nhiên, để đạt được mục đích đó, thì trong đề thi cần có những bài đòi hỏi khả năng suy luận logic sâu sắc. Đề thi toán mà gồm toàn những câu hỏi tủn mủn, để đạt điểm cao không cần nghĩ sâu mà chỉ cần “nhớ nhiều, điền nhanh”, thì sẽ mất đi tác dụng kiểm tra khả năng suy nghĩ của môn toán. Đó chính là điều đáng lo ngại về xu hướng thi trắc nghiệm hiện tại. (Bản thân việc thi trắc nghiệm có những ưu điểm của nó, nhưng kiểu ra đề thi trắc nghiệm với toàn những câu hỏi tủn mủn là điều đáng lo ngại).

Trong môn toán (cũng như các môn khác), không phải bài tập nào, vấn đề nào, lý thuyết nào cũng sâu sắc (đòi hỏi suy nghĩ sâu) như nhau. Thế nào là một bài tập sâu sắc ? Trong môn toán, những bài tập nào mà thường chỉ làm có trong vòng 10 phút là xong thì thường được coi là “dễ, hiển nhiên”, bài nào phải mất rất nhiều thời gian để suy nghĩ (có khi hàng tiếng đồng hồ hoặc hơn) thì là “sâu, khó”. Trong các kỳ thi IMO, đề thi mỗi ngày chỉ có 3 bài tập, và học sinh được giải trong vòng 4 tiếng rưỡi 3 bài đó. Trên trang web (blog) gowers.wordpress.com về toán học, có một ví dụ thú vị sau đây về một bài tập sâu sắc: Cho f là một hàm số liên tục từ R vào R với tính chất sau: với bất kỳ số dương a nào, thì dãy số f(a), f(2a), f(3a), f(4a), … tiến tới 0. CMR f(x) tiến tới 0 khi x tiến tới dương vô cùng. (Xem http://gowers.wordpress.com/2008/07/25/what-is-deep-mathematics/). Bài toán trên không đòi hỏi kiến thức gì quá cao (học sinh cuối PTTH có thể hiểu và giải được nó), nhưng sâu sắc vì nó đòi hỏi suy luận nhiều bước, hướng giải và lời giải không hiển nhiên. Những học sinh nào mà tự làm được những bài như vậy, có thể coi là “học sinh giỏi toán” (giỏi ở đây chính là giỏi suy luận logic, và kỹ năng này rất quí bất kể về sau học sinh đi theo ngành gì). Những học sinh mà nắm vững các khái niệm về giới hạn và liên tục nhưng vẫn không giải được bài như vậy, thì không có nghĩa là “dốt toán”, mà chỉ là “không đến mức thật giỏi”. Có những bài toán tổ hợp mà những học sinh học lớp 3 cũng có thể hiểu được, nhưng về độ sâu sắc thì cũng không kém gì bài trên.

Việc giao và khuyến khích học sinh làm những bài tập sâu sắc là cần thiết, nếu muốn học sinh luyện suy nghĩ sâu. Cũng như trong chơi cờ (cũng là một môn tốt cho rèn luyện suy nghĩ): nếu chỉ chơi với toàn đối thủ quá kém hơn mình, thì khó mà tiến bộ, phải chơi nhiều với những đối thủ giỏi hơn hoặc bằng mình mới nhanh tiến bộ. Nhưng nếu chơi với toàn đối thủ giỏi quá, chỉ toàn thua mà không thắng được lần nào, thì cũng dễ chán. Trong việc học cũng vậy: nếu giao toàn bài quá dễ cho học sinh, thì học sinh sẽ thấy nhàm chán, nhưng nếu toàn bài khó quá không giải được và không gợi ý hướng giải, thì cũng không phải là cách rèn luyện hiệu quả. Nếu cho bài quá khó học sinh không giải được, rồi sau đó lại cho lời giải bắt học sinh học thuộc, thì cũng ít có suy nghĩ gì của học sinh ở đó.

Những tờ báo toán học cho học sinh phổ thông, như Kvant (của Nga), Mathematical Monthly (Mỹ), hay Toán Học Tuổi Trẻ,với những câu chuyện và bài tập sâu sắc trong đó, rất có ích cho việc giúp học sinh rèn luyện khả năng suy nghĩ sâu. (Tiếc là báo Toán Học Tuổi Trẻ có lúc không còn “sâu sắc” mà ngả theo hướng”luyện thi”).

Print Friendly
 

2 comments to Một số điều nên và không nên trong giảng dạy toán (12)

  • Thân chào bác Dũng,

    Chuỗi bài này bác viết rất hay, biên tập lại cẩn thận có thể viết thành sách được.

    Tôi hoàn toàn đồng ý với tinh thần của bài viết. Chỉ xin góp ý một ý nhỏ về kiến thức (data) và suy luận (program). Thật ra, để đại diện cho “suy luận”, tôi nghĩ dùng từ “thuật toán” thì đúng hơn “chương trình”.

    Trong Khoa Học Máy Tính hiện nay, ranh giới giữa data và algorithm càng lúc càng bị xóa nhòa, nếu không nói là hoàn toàn không có ranh giới gì. Có cơ sở lý thuyết cho điều này (xem, ví dụ, bài này của Bernard Chazelle có giới thiệu phổ cập đại chúng về sự hòa trộn của data và chương trình). Trong Toán thì recursion theory, lambda calculus là minh họa lý thuyết cho ý này. Về mặt lập trình thì các programming paradigms như lập trình hướng đối tượng và lập trình hàm (funcional programming) cũng mang tư tưởng xóa ranh giới giữa data và programs.

    Đến một trình độ tư duy nhất định thì ranh giới giữa kiến thức và suy luận hầu như không còn nữa. Nói đúng hơn là phần kiến thức càng lúc càng bị “tan” vào trong phần suy luận. Cuối cùng chỉ còn lại một thuật toán. Tôi để ý rằng những thứ mà tôi thật sự hiểu sâu sắc thì tôi lại không “nhớ” gì mấy, có cảm giác như data ít cần, nhưng cái thuật toán trong đầu có thể tự tạo ra một logical flow cho tư duy. Khi cần nói về đề tài đã hiểu sâu thì chỉ cần một điểm khởi đầu (data point) nào đó là đã có thể “xổ nho” rất dài.

    Như vậy, trong não, tôi tin là, có cơ chế tạo một mô hình sinh (generative model) cho những đề tài mà chúng ta hiểu sâu. Nhiệm vụ của người thầy là thiết kế một chương trình giảng dạy để học trò tự phát triển cái generative model này.

  • admin MonsterID Icon admin

    Thanks Hưng

    Cái bài của Chazelle dài quá, mà có vẻ là bài “vulgarization” cho “dummies” :-)

    Tất nhiên việc phân loại các bits ra “data” và “algorithm” là một qui ước “đơn giản hóa” thôi, chứ trong algorithms có thể chứa data và trong data có thể chứa algorithms.
    Nhưng chắc là về sau người ta vẫn sẽ nói “data processing” chứ không nói “algorithm processing” (đã ở thế “thụ động”, bị lôi ra “xử lý” thì là data, bao giờ “chủ động” thì “không còn là data” ?).

    Cái “chương trình” (hay thuật toán) ghi trong não ứng với khả năng suy nghĩ sâu, cần được hiểu không phải là “một chương trình riêng lẻ”, mà là một hệ tổng hợp của nhiều “chương trình con”. Các algorithms này, như Hưng nói, thường có tính generative (and genetic ?)

Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Spam Protection by WP-SpamFree